Энциклопедия лучших игр со словами и цифрами
Шрифт:
Какое наибольшее количество дверей может оказаться в подвале после того, как все жильцы комнат проснутся?
Подсказка: подумайте, могут ли оказаться в подвале все 10 дверей.
Ответ
Представим, что жильцы коммунальной квартиры просыпаются в порядке нумерации их комнат: сначала – первой, потом – второй и т. д.
Рассмотрим комнату, в которой сняли дверь жители первой комнаты. Когда жильцы комнаты
Например: жильцы первой комнаты снимают дверь в десятой комнате, жильцы второй комнаты снимают дверь в первой, …, жильцы n-й комнаты снимают дверь в n – 1 (1 < n < 10) комнате.
Проснувшиеся последними жильцы десятой комнаты вешают свою дверь на место, после чего в подвале окажется 8 дверей от первой, второй, третьей, четвертой, пятой, шестой, седьмой и восьмой комнат.
Конструктор
Условие
Никите подарили игру «Конструктор», в которой было 100 деталей разной длины. В инструкции к игре написано, что из любых 3 деталей можно составить треугольник.
Никита решил проверить это утверждение и стал составлять из деталей треугольники.
Детали лежат в наборе по возрастанию длины.
Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) необходимо сделать Никите, чтобы доказать или опровергнуть то, что написано в инструкции?
Подсказка: любая из деталей короче самой длинной и длиннее самой короткой, а любые 2 детали в сумме короче 2 самых длинных и длиннее 2 самых коротких.
Ответ
Никите нужна только 1 проверка. Ему достаточно проверить, можно ли составить треугольник из 2 самых коротких деталей и 1 самой длинной.
Если треугольник не составляется, то утверждение инструкции опровергнуто. Если же его можно составить, то сумма длин 2 самых коротких деталей больше длины самой длинной, а это означает, что из любых деталей можно составить треугольник.
Карточный фокус
Условие
На одном столе лежат карты, 10 из которых лежат рубашкой вниз. Фокусник с повязкой на глазах подходит к столу, берет несколько карт и перекладывает их на другой стол, при этом, возможно, переворачивая некоторые из них.
Такую операцию разрешается повторять несколько раз (можно брать карты как с первого, так и со второго стола).
Как переложить карты так, чтобы на обоих столах было одинаковое количество карт, лежащих рубашкой вниз?
Подсказка: подумайте, что будет, если переложить 1 карту, перевернув ее.
Ответ
Переложим на второй стол 10 карт, переворачивая каждую из них. Предположим, что среди этих карт оказалось n лежащих
В этом случае после перекладывания на втором столе будет 10-n лежащих рубашкой вниз карт, а на первом столе останется 10-n карт, лежащих рубашкой вниз (было 10 карт, из них n штук переложили).
Таким образом, мы получим то, что требуется в условии головоломки.
Сто сумасшедших художников
Условие
Сто сумасшедших художников последовательно красят часть стены 100 ? 100 клеток в 100 цветов, соблюдая единственное правило: в одной строке и в одном столбце не может оказаться 2 клеток одинакового цвета. Смогут ли 99 сумасшедших художников правильно покрасить стену, если первый художник уже покрасил «свои» 100 клеток?
Подсказка: первый сумасшедший художник покрасил клетки только в первых 2 строках.
Ответ
К сожалению, план сумасшедших художников обречен на провал: например, если в первой строке первые 99 клеток покрашены в 99 различных цветов, а последняя клетка второй строки покрашена в сотый цвет.
Хоккейный матч
Условие
Хоккейный матч между командами «Дружба» и «Мир» закончился со счетом 8 : 5.
Докажите, что в матче был такой момент, когда «Дружбе» оставалось забить столько голов, сколько «Мир» уже забил к этому времени.
Подсказка: учтите, что в начале игры счет был 0 : 0, а закончилась игра со счетом 8 : 5.
Ответ
Матч начался с суммарного счета 0, а потом изменялся на единицу и окончательный суммарный счет стал равен 13. Из этого можно сделать вывод, что в матче был такой момент, когда было забито 8 голов.
Пусть n голов забил «Мир», тогда 8-n голов забила «Дружба», что и требовалось доказать.
Шахматные фигуры
Условие
Можно ли расположить шахматные фигуры в клетках доски размером 8 ? 8 (в каждой
клетке не более 1 фигуры) так, чтобы в любых 2 столбцах фигур было поровну, а в любых 2 строках – разное количество?
Подсказка: разделите строки по парам, в первой строке каждой пары пусть находится n фигур, а во второй – 8-n.
Ответ
Разобьем строки на 4 пары. В каждой паре строк поставим 8 шахматных фигур: n фигур (n – номер пары строк) – в первой строке данной пары и 8-n фигур – во второй строке пары. Причем расположим их в тех столбцах, в которых не стоит фигура из первой строки данной пары.
В результате в каждом столбце доски 8 ? 8 будет стоять по 4 фигуры (по одной в каждой паре строк), а в 8 строках – 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 фигур. Таким образом, условие задачи выполняется.
Вредный старик