Эйнштейн. Его жизнь и его Вселенная

Айзексон Уолтер

Математика

Когда Эйнштейн вернулся из Праги в Цюрих в июле 1912 года, один из первых визитов он нанес своему другу Марселю Гроссману – составителю конспектов, которыми пользовался и Эйнштейн, когда пропускал математические классы в Цюрихском политехникуме. По двум геометрическим курсам в Политехникуме Эйнштейн получил 4,25 из 6. Гроссман, напротив, по обоим геометрическим курсам получил высший балл – 6, написал диссертацию по неевклидовой геометрии, опубликовал семь статей по этой теме. В 1912 году он занимал пост декана математического факультета⁷.

Эйнштейн сказал ему: “Гроссман, ты должен помочь мне, или я сойду с ума”. Он объяснил, что ему нужен математический аппарат, с помощью которого можно было бы описать гравитационное поле, а возможно, даже установить законы,

которым оно подчиняется. Эйнштейн вспоминал о реакции Гроссмана на этот призыв: “Он мгновенно загорелся”⁸.

До тех пор научный успех Эйнштейна основывался на его уникальном чутье, позволявшем ему ощущать основные физические законы природы, а найти лучшее математического описание этих законов казалось ему менее сложным и интересным делом, и он оставлял это другим. Например, подобную задачу в отношении специальной теории относительности выполнил его цюрихский коллега Минковский.

Но к 1912 году Эйнштейн пришел к выводу, что математика может быть полезным инструментом не только для описания законов природы, но и для их открытия. Математика была сценарием, по которому действует природа. “Основная идея общей теории относительности состоит в том, что гравитация возникает из кривизны пространства – времени, – говорит физик Джеймс Хартл. – Гравитация – это и есть геометрия”⁹.

“Сейчас я работаю исключительно над проблемами гравитации, и мне кажется, что с помощью здешнего друга-математика я смогу преодолеть все трудности, – писал Эйнштейн физику Арнольду Зоммерфельду, – у меня возникло огромное уважение к математике, наиболее сложные разделы которой я до сегодняшнего дня по своему невежеству считал чистым излишеством!”¹⁰

После разговора с Эйнштейном Гроссман отправился домой, чтобы подумать о проблеме, и, когда просмотрел соответствующую литературу, вернулся к Эйнштейну и порекомендовал ему неевклидову геометрию [48] , которая была разработана Бернгардом Риманом¹¹.

Риман (1826–1866) был вундеркиндом, который в возрасте четырнадцати лет изобрел вечный календарь и подарил его родителям. Он продолжил учебу в крупном германском центре математической науки – Геттингене – под руководством Карла Фридриха Гаусса, первым заинтересовавшегося геометрией искривленных поверхностей. Эту тему Гаусс предложил Риману в качестве диссертационной, и результаты этой работы впоследствии изменили не только геометрию, но и физику.

48

Первую неевклидову геометрию (геометрию пространств с отрицательной кривизной) построил Н. И. Лобачевский (1829). Риман в 1854 году построил геометрию пространств с произвольной кривизной, и она включала в себя и геометрию Евклида, и геометрию Лобачевского. В отличие от пространств Евклида или Лобачевского, являющихся бесконечными, пространство постоянной положительной кривизны имеет конечный объем, оно замкнуто.

Геометрия Евклида описывает плоские поверхности, а на искривленных поверхностях она перестает быть справедливой. Например, сумма углов треугольника, нарисованного на плоской странице, равна 180°. Но посмотрите на глобус и представьте себе треугольник, образованный экватором в качестве основания, меридианом, проходящим от экватора к Северному полюсу через Лондон (долгота 0°) в качестве одной боковой стороны, и меридианом, проходящим от экватора к Северному полюсу через Новый Орлеан (долгота 90°), в качестве второй боковой стороны. Если вы посмотрите на этот треугольник, вы увидите, что все три его угла прямые, что, конечно, невозможно в плоском мире Евклида.

Гаусс и другие математики разработали различные типы геометрий, которые описывали поверхность сферы и других криволинейных поверхностей. Риман пошел дальше: он нашел способ описания поверхности независимо от того, как изменяется ее геометрия, – даже если при переходе из одной точки в другую поверхность превращалась из сферической в плоскую и потом в гиперболическую. А потом он пошел еще дальше и не ограничился исследованием кривизны двумерной поверхности, а, опираясь на работу Гаусса, нашел, как математически можно описать кривизну трехмерного и даже четырехмерного пространства.

Это сложная для понимания математическая

концепция. Мы еще можем представить себе кривую линию или поверхность, но трудно представить искривленное трехмерное пространство и еще труднее – искривленное четырехмерное пространство. Но для математиков обобщение понятия кривизны на разные измерения является несложным делом – по крайней мере выполнимым. Оно выполняется с помощью введения метрики, которая определяет способ расчета расстояния между двумя точками в пространстве.

На плоской поверхности любой старшеклассник, изучавший алгебру, зная всего две нормальные координаты X и Y, с помощью старины Пифагора может вычислить расстояние между точками.

Но представьте себе плоскую карту (карту мира, например), которая представляет собой проекции полусфер земного шара на плоскость. Местность вблизи полюсов растянута, и измерение расстояний становится более сложным. Если взять две пары точек с одинаковыми расстояниями между ними, но расположенные в разных местах карты, фактические расстояния между двумя соответствующими точками в Гренландии и вблизи экватора нужно вычислять по-разному. Риман разработал способы, позволяющие математически вычислить расстояние между точками в пространстве независимо от того, каким образом оно искривлено и искажено¹².

Для этого он использовал характеристику, называемую тензором. В евклидовой геометрии используются векторы – характеристики, которые имеют как величину, так и направление (например, и скорость, и сила являются векторами), и таким образом, для их описания требуется больше одного простого числа. В неевклидовой геометрии, где пространство искривлено, для его характеристики нам нужен какой-то более сложный геометрический объект, который определяется с помощью упорядоченного набора (матрицы) большего количества чисел (компонентов). Эти объекты называются тензорами.

Метрический тензор является математическим инструментом, который показывает, как рассчитать расстояние между точками в данном пространстве [49] . Для двумерных карт метрический тензор имеет три компоненты. Для трехмерного пространства он имеет шесть независимых компонент. А когда вы переходите к нашему знаменитому четырехмерному пространству, называемому пространством – временем, метрический тензор определяется уже десятью независимыми компонентами.

Риман развил концепцию метрического тензора, обычно обозначаемого символом g (произносится как джи-мю-ню). Он имеет шестнадцать компонентов, десять из которых независимы друг от друга и могут быть использованы для определения и описания расстояний в искривленном четырехмерном пространстве – времени¹³.

49

Вот как это работает. Если вы в какой-то момент находитесь в определенной точке искривленного пространства и хотите знать расстояние до бесконечно близкой соседней точки, то это может оказаться сложным делом, если в вашем распоряжении есть только теорема Пифагора и вы знаете лишь некоторые правила обычной геометрии. Расстояние до близкой точки, расположенной к северу от нашей, возможно, будет вычисляться не так, как расстояние до точки, расположенной к востоку, или до точки, расположенной выше исходной. Вам нужно для каждой точки пространства изготовить что-то вроде таблички с ее характеристиками, чтобы вы могли определять расстояние до каждой из этих близлежащих точек. В четырехмерном пространстве – времени на вашей табличке с перечнем показателей нужно изобразить десять чисел, позволяющих определить все параметры, касающиеся пространственно-временных расстояний до ближайших точек. Вам нужна такая табличка для каждой точки в пространстве – времени. Но, как только вы ими обзавелись, вы сможете определить расстояние вдоль любой кривой: для этого просто нужно, пользуясь этими табличками, сложить все расстояния вдоль каждого бесконечно малого отрезка кривой, по которой вы проходите. Эти таблички с перечнем показателей образуют метрический тензор, который является не чем иным, как полем в пространстве – времени. Другими словами, это то, что определено в каждой точке, но может в них принимать разные значения. Я благодарен профессору Джону Д. Нортону за помощью в написании этого раздела. – Прим. авт.