Фейнмановские лекции по физике. 2. Пространство. Время. Движение

Фейнман Ричард Филлипс

То, что происходит «сейчас», «сию минуту» — это на самом деле нечто таинственное; оно не поддается определению, не под­дается и воздействию, однако несколько позже оно может воздей­ствовать на нас (или мы на него, если какое-то время тому назад мы позаботились об этом). Когда мы смотрим на звезду Альфа Центавра, мы видим ее такой, какой она была 4 года тому назад; нам может захотеться узнать, на что она похожа «сейчас». «Сей­час» — это значит в этот же момент в нашей системе координат. Альфу Центавра мы можем видеть только при помощи световых лучей, явившихся к нам из нашего прошлого, прошлого че­тырехлетней давности, но что на ней происходит «сейчас», мы не знаем. Происходящее на ней «сейчас» сможет воздей­ствовать на нас только через четыре года. «Альфа Центавра сейчас» — это идея, или понятие, существующее в нашем мозге; никакого физического определения для такого понятия в этот момент нет, потому что надо подождать, прежде чем «сейчас» удастся увидеть; для Альфы Центавра даже правильное по­нятие «сейчас» не поддается определению сию минуту. Ведь «сейчас»

зависит от системы координат. Если бы, к примеру, Альфа Центавра двигалась, то наблюдатель на ней не согла­сился бы с нашим пониманием его «сейчас», потому что его оси координат были бы повернуты на какой-то угол, а его «сейчас» было бы совсем другим временем. Мы уже говорили, что од­новременность не определяется однозначно.

Встречаются порой предсказатели судьбы, гадалки, люди, утверждающие, что они могут узнавать будущее; немало чудес­ных историй рассказывается и о людях, которые внезапно видят перед собой свое воздействуемое будущее. От этого воз­никает множество парадоксов: ведь если мы знаем, что что-то случится, то наверняка сможем избежать этого, если захотим. На самом же деле ни один провидец будущего не способен узнать даже настоящее! Нам никто не скажет, что сию минуту происходит достаточно далеко от нас, потому что это нена­блюдаемо.

Напоследок я задам вопрос, ответить на который предо­ставляю вам самим. Если бы внезапно появилась возможность знать, что происходит в области 1 пространства-времени,— возник бы от этого парадокс или нет?

§ 4. Еще о четырехвекторах

Вернемся опять к аналогии между преобразованием Ло­ренца и вращением пространственных осей. Мы уже убедились, что полезно собирать воедино отличные от координат величины, которые преобразуются так же, как и координаты; эти соеди­ненные величины называют векторами, или направленными отрезками. При обычных вращениях немало величин преобра­зуется в точности так же, как х, y, z (например, скорость с тремя компонентами х, у, z); при переходе из одной системы координат в другую ни одна из компонент не остается прежней, все они приобретают новые значения. Но «сама» скорость, во всяком случае, более реальна, чем любая из ее компонент, и изображаем мы ее направленным отрезком.

Теперь мы спросим: существуют ли величины, которые пре­образуются при переходе от неподвижной системы к движу­щейся так же, как и х, у, z, t? Наш опыт обращения с векторами подсказывает, что три из этих величин, подобно х, у, z, могли бы представлять собой три компоненты обычного простран­ственного вектора, а четвертая могла бы оказаться похожей на обычный скаляр относительно пространственных вращений: она бы не изменялась, пока мы не перейдем в движущуюся систему координат. Возможно ли, однако, связать с одним из известных «тривекторов» некоторый четвертый объект (ко­торый можно назвать «временной компонентой») таким образом, чтобы вся четверка «вращалась» точно так же, как изменяются пространство и время в пространстве-времени? Мы сейчас покажем, что действительно существует по крайней мере одна такая четверка (на самом деле далеко не одна): три ком­поненты импульса и энергия в качестве временной компоненты преобразуются вместе и образуют так называемый «четырехвектор». Доказывая это, мы избавимся от с тем же приемом, какой употреблялся в уравнении (17.4). Например, энергия и масса отличаются только множителем с²и при надлежащем выборе единиц измерения энергия совпадет с массой. Вместо того чтобы писать Е=тс², мы положим Е=т. Если понадо­бится, в окончательных уравнениях можно опять расставить с в нужных степенях.

Итак, уравнения для энергии и импульса имеют вид

Значит, при таком выборе единиц получится

Скажем, если энергия выражена в электронвольтах (эв), то чему равна масса в 1 эв? Она равна массе с энергией покоя 1 эв, т. е. m₀c²=1 эв. У электрона, например, масса покоя равна 0,511·10⁶ эв.

Как же будут выглядеть импульс и энергия в новой системе координат? Чтобы узнать это, надо преобразовать уравнения (17.6). Это преобразование легко получить, зная, как пре­образуется скорость. Пусть некоторое тело имело скорость v, а мы наблюдаем за ним из космического корабля, который сам имеет скорость u, и обозначаем соответствующие величины штрихами. Для простоты

сперва мы рассмотрим случай, когда скорость v направлена по скорости и. (Более общий случай мы рассмотрим позже.) Чему равна скорость тела v' по измерениям из космического корабля? Эта скорость равна «раз­ности» между v и u. По прежде полученному нами закону

v’=(v-u)/(1-uv’) (17-8)

Теперь подсчитаем, какой окажется энергия Е' по измерениям космонавта. Он, конечно, воспользуется той же массой покоя, но зато скорость станет v'. Он возведет v' в квадрат, вычтет из единицы, извлечет квадратный корень и найдет обратную величину

Энергия Е' просто равна массе m₀, умноженной на это выражение. Но нам хочется выразить энергию через нештри­хованные энергию и импульс. Мы замечаем, что

или

Мы узнаем в этом выражении знакомое нам преобразование

Теперь мы должны найти новый импульс р_х. Он равен энергии Е', умноженной на v', и так же просто выражается через Е и р:

и мы опять распознаем в этой формуле знакомое нам

Итак, преобразование старых энергии и импульса в новые энергию и импульс в точности совпало с преобразованием t и х в t' и х и t в х': если мы в уравнениях (17.4) будем писать Е каждый раз, когда увидим t, а вместо x: всякий раз будем под­ставлять р_х, то уравнения (17.4) превратятся в уравнения (17.10) и (17.11). Если все верно, то это правило предполагает добавочные равенства р'_у=-р_yи р'_z=р_z. Чтобы их доказать, надо посмотреть, как преобразуется движение вверх или вниз. Но как раз в предыдущей главе мы рассмотрели такое движение. Мы анализировали сложное столкновение и заметили, что по­перечный импульс действительно не меняется при переходе в движущуюся систему координат. Стало быть, мы уже убе­дились, что р'_у=р_уи p_z=p_z. Итак, полное преобразование равно

Таким образом, эти преобразования выявили четыре ве­личины, которые преобразуются подобно х, у, z, t. Назовем их четырехвектор импульса. Так как импульс — это четырехвектор, его можно изобразить на диаграмме пространства-времени движущейся частицы в виде «стрелки», касательной к пути (фиг. 17.4).

Фиг. 17.4. Четырехвектор импульса частицы.