Фейнмановские лекции по физике. 3. Излучение. Волны. Кванты

Фейнман Ричард Филлипс

Существует еще один метод решения задачи, его можно было бы назвать аналитическим. Вместо того чтобы рисовать схему, подобную приведенной на фиг. 29.9, напишем выраже­ния, имеющие тот же смысл, что и чертеж, и сопоставим каж­дому вектору комплексное число. Действительные части этих комплексных чисел отвечают реальным физическим величинам. В нашем конкретном случае волны записываются следующим образом: A₁ехр[i(wt+j₁)] [действительная часть этого равна A₁cos(wt+j₁)] и A₂ехр[i(wt-+j₂)]. Сложим обе волны:

(29.13)

(29.14)

Задача,

таким образом, решена, так как мы имеем окончатель­ный результат в виде комплексного числа с модулем A_Rи фа­зой j_R.

Для иллюстрации аналитического метода найдем амплитуду А_R , т. е. «длину» R. «Длина» комплексного числа в квадрате есть само комплексное число, умноженное на сопряженное ему.

Комплексное сопряжение состоит в изменении знака i . Отсюда получаем

(29.15)

(С помощью формул тригонометрии легко установить совпаде­ние получаемого результата с длиной A_Rна фиг. 29.9.)

Итак, суммарная интенсивность складывается из члена А₁², возникающего от действия только первого источника, интенсив­ности А₂², равной интенсивности второго источника, и еще дополнительного члена. Этот дополнительный член мы назовем эффектом интерференции. Он представляет собой разность между истинным результатом сложения и суммой интенсивностей. Интерференционный член может быть как положительным, так и отрицательным. [Интерференция (interference) в англий­ской разговорной речи означает возражение, помеху, но в фи­зике слова часто теряют первоначальный смысл и употребляются совсем в другом значении!] Если интерференционный член по­ложителен, мы будем говорить о конструктивной интерферен­ции (буквальный смысл этого выражения покажется ужасным всем, кроме физиков!). В противном случае мы говорим о дест­руктивной интерференции.

Посмотрим теперь, как применить нашу общую формулу (29.16) для сложения полей излучения двух осцилляторов к тем частным случаям, которые мы уже качественно обсуждали. Для этого необходимо лишь вычислить разность фаз j₁– j₂ двух сигналов, приходящих в данную точку пространства. (Эффект, разумеется, связан с разностью фаз, а не с их абсолютными зна­чениями.) Рассмотрим случай, когда два осциллятора с равными амплитудами и с относительной фазой колебаний а (когда коле­бания одного имеют фазу нуль, фаза другого равна а) располо­жены на расстоянии d друг от друга. Будем искать интенсив­ность под углом q к линии запад — восток. [Заметьте, что этот угол не имеет ничего общего с углом q в формуле (29.1).] Разность расстояний от точки Рдо осцилляторов равна dsinq (фиг. 29.10), поэтому разность фаз, возникающая по этой причине, равна числу длин волн, заключенных на отрезке dsinq, умноженному на 2p.

Фиг. 29.10. Два осциллятора, обладающие одинаковой амплиту­дой и разностью фаз a.

(Более подготовленный читатель, вероятно, умножил бы волновое число k,

т. е. скорость изменения фазы с расстояни­ем, на d sin 0, результат получится тот же самый.) Разность фаз, возникающая из-за разности хода лучей, есть, таким обра­зом, (2pdsinq)/l, но из-за относительного запаздывания осцилляторов возникает дополнительная разность фаз a. Отсюда пол­ная разность фаз двух волн в точке наблюдения равна

(29.17)

Это выражение охватывает все случаи. Теперь остается только подставить его в (29.16) и положить A₁=А₂; получится фор­мула, с помощью которой можно вывести все результаты для двух антенн одинаковой интенсивности.

Рассмотрим частные случаи. Например, на фиг. 29.5 мы полагали, что интенсивность на угол 30° равна 2. Откуда это получается? Осцилляторы находятся на расстоянии X/2, следо­вательно, для угла 30° dsinq=l/4, отсюда j₂– j₁=2pl/4l=p/2 и интерференционный член равен нулю. (Происходит сло­жение двух векторов, направленных под углом 90" друг к дру­гу.) Сумма векторов есть гипотенуза прямоугольного равнобед­ренного треугольника, она в Ц2раз больше каждой амплитуды. Следовательно, интенсивность в 2 раза больше интенсивности каждого источника в отдельности. Все остальные примеры исследуются точно таким же способом.

Глава 30

ДИФРАКЦИЯ

§ 1. Результирующее поле n одинаковых осцилляторов

§ 2. Дифракционная решетка

§ 3. Разрешающая способность дифракционной решетки

§ 4. Параболическая антенна

§ 5. Окрашенные пленки; кристаллы

§ 6. Дифракция на непрозрач­ном экране

§ 7. Поле системы осцилляторов, расположенных на плоскости

§ 1. Результирующее поле n одинаковых осцилляторов

Настоящая глава — непосредственное про­должение предыдущей, хотя название «Интерференция» здесь заменено словом «Дифракция». До сих пор никому не удалось удовлетворитель­ным образом определить разницу между дифрак­цией и интерференцией. Дело здесь только в привычке, а существенного физического раз­личия между этими явлениями нет. Единствен­ное, что можно сказать по этому поводу,— это следующее: когда источников мало, например два, то результат их совместного действия обыч­но называют интерференцией, а если источников много, то чаще говорят о дифракции. Поэтому мы не будем утруждать себя вопросом — ин­терференция это или дифракция, а просто про­должим наше обсуждение с того места, где мы остановились в предыдущей главе.

Обсудим теперь случай, когда имеется n осцилляторов, расположенных на равных рас­стояниях один от другого и обладающих рав­ными амплитудами, но разными фазами созда­ваемых ими полей. Разность фаз создается либо из-за выбора определенных фазовых сдвигов колебаний осцилляторов, либо потому, что мы находимся под углом к осцилляторам и возни­кает разность хода лучей. Независимо от при­чины возникновения разности фаз необходимо вычислить сумму такого вида:

где j — разность фаз соседних осцилляторов для некоторого направления лучей. В данном частном случае j=a+2pd¹/₂sinq. Вычислим сумму R. Для этого воспользуемся геометрическим способом сложения. Длина первого слагаемого А,а его фаза равна нулю; длина второго также А, а фаза его равна j. Следующее слагаемое имеет снова длину А и фазу, равную 2j, и т. д. В конце концов получается часть правильного много­угольника с nсторонами (фиг. 30.1).