Фейнмановские лекции по физике. 4. Кинетика. Теплота. Звук

Фейнман Ричард Филлипс

Фиг. 44.7. Машина В застав­ляет работать обратимую ма­шину А в обратном направлении.

Обладая работой W, можно запустить машину А в обратном направлении, ведь это — обратимая машина. При этом она поглотит какое-то количество тепла из резервуара с температурой Т₂, но зато вернет тепло Q₁резервуару при темпе­ратуре Т₁. Каков чистый результат этого двойного цикла? Мы вернули все к исходному состоянию и совершили дополнитель­ную работу W'-W. Дело свелось к тому, что мы извлекли энергию из резервуара с температурой Т₂! Тепло Q₁, взятое

из резервуара с температурой T₁ , было аккуратно возвращено. Раз это тепло все равно возвращается, то в качестве резервуара с температурой Т₁можно взять что-нибудь поменьше океана и заключить это устройство внутрь составной машины А+В. Чистым результатом цикла такой машины будет изъятие из резервуара при температуре Т₂тепла W'-W и превращение его в работу. Но извлечение полезной работы из резервуара при неизменной температуре без других изменений запрещается постулатом Карно. Этого нельзя сделать. Таким образом, не существует таких машин, которые извлекли бы некоторое количество тепла из резервуара при температуре Т₁, возвратили бы какую-то его часть при температуре Т₂и совершили боль­шую работу, чем обратимая машина, работающая при тех же самых температурных условиях.

Предположим теперь, что машина В тоже обратима. Тогда, конечно, не только W' не больше W, но и W не больше W'. Чтобы доказать это, надо просто обратить предыдущие аргу­менты. Итак, если обе машины обратимы, то они должны производить одинаковую работу, и мы пришли к блестящему выводу Карно: если машина обратима, то безразлично, как она умудряется превращать тепло в работу. Произведенная машиной работа, если только машина поглощает определенное количество тепла при температуре Т₁и возвращает какую-то его часть при температуре Т₂, не зависит от устройства ма­шины. Так уж устроен мир, и от частных свойств машины это не зависит.

Если бы мы нашли закон, определяющий работу, со­вершаемую при изъятии тепла Q₁при температуре Т₁и возвращении части этого тепла при температуре T₂, то эта величина была бы универсальной постоянной, не зависящей от свойств вещества. Конечно, если нам известны свойства какого-нибудь вещества, мы можем вычислить интересующую нас величину. После этого мы будем вправе заявить, что все остальные вещества, если с их помощью построить обратимую машину, произведут точно такую же работу. Такова основная идея, ключ, с помощью которого мы можем найти последующие соотношения. Например, мы хотим узнать, насколько резина сжимается при нагревании и насколько она остывает, когда мы позволяем ей сжаться. Предположим, что мы взяли резину в качестве рабочего вещества обратимой машины и совершили обратимый цикл. Чистый результат, полная произведенная работа,— это универсальная функция, великая функция, не зависящая от свойств вещества. Таким образом, мы убежда­емся, что есть нечто, ограничивающее в известном роде разно­образие свойств вещества. Мы не можем сделать эти свойства какими захотим, не можем изобрести вещество, которое, будучи использованным в тепловой машине, произвело бы за обратимый цикл работу больше допустимой. Этот принцип, это ограни­чение,— единственное реальное правило, которое можно вы­вести из термодинамики.

§ 4. Коэффициент полезного действия идеальной машины

А сейчас попробуем найти закон, определяющий работу W как функцию Q₁, Т₁и Т_{2. Ясно, что W пропорционально Q1, ибо если две обратимые машины работают в параллель, то такая сдвоенная машина тоже будет обратимой машиной. Если каждая из этих машин поглощает тепло Q1, то обе сразу поглощают 2Q1, а работа, которую они совершают, равна 2 W и т. д. Поэтому пропорциональность W затраченному теплу Q1 вполне естественна.}

После этого сделаем еще один важный шаг к универсальному закону. В качестве рабочего вещества машины можно взять одно вещество с хорошо известными нам свойствами. Восполь­зуемся этим и выберем идеальный газ. Можно и не делать этого, а вывести интересующее нас правило чисто логически, совсем не используя для этого какого-то вещества. Это одно из самых блестящих теоретических доказательств в физике, но пока мы используем менее абстрактный и более простой метод прямого вычисления.

Нам нужно лишь получить формулы для Q₁и Q₂ (ведь W=Q₁– Q₂) — тепла, которым машина обменивается с резерву­арами во время изотермического расширения и сжатия. Для примера

вычислим Q₁— тепло, полученное от резервуара при температуре T₁ во время изотермического расширения (кривая 1 на фиг. 44.6) от точки а, где давление равно p_a, объем V_a, тем­пература Т₁, до точки b, где давление равно р_b, объем V_b, а тем­пература та же самая T₁. Энергия каждой молекулы идеального газа зависит только от температуры, а поскольку в точках а и b одинаковы и температура, и число молекул, то и внутренняя энергия тоже одинакова. Энергия U не изменяется; полная рабо­та газа в период расширения

W= _a ^b pdV

а

совершается за счет энергии Q₁ , полученной из резервуара. Во время расширения pV=NkT₁или

p-NkT₁/V; значит,

т. е.

Q ₁ =NkT ₁ ln(V _b /V _a ).

Вот то тепло, которое взято из резервуара при температуре Т₁. Точно так же можно вычислить и тепло, отданное при сжатии (кривая 3 на фиг. 44.6) резервуару при температуре T₂:

Q₂=NkT₂ln(V_c/V_d). (44.5)

Чтобы закончить анализ, нужно еще найти соотношение между V_c/V_dи V_b/V_a. Для этого взглянем сначала на кривую 2, которая описывает адиабатическое расширение от b до c. В это время pV^gостается постоянным. Поскольку pV=NkT, то фор­мулу для адиабатического расширения в конечных точках пути можно записать в виде (pV)V^{g– 1}=const, или TV^{g– 1}=const, т. е.

T₁V_b^{g– 1}=T₂V_c^{g– 1}. (44.6)

Так как кривая 4 описывает адиабатическое сжатие от d до а, то

Т₁V_a^{g– 1}=T₂V_d^{g– 1}. (44.6а)

Если поделить эти равенства одно на другое, то мы выясним, что отношения V_b/V_aи V_c/V_dравны, поэтому равны и лога­рифмы в (44.4) и (44.5). Значит,

Q₁/T₁=Q₂/T₂. (44.7)

Это и есть то соотношение, которое мы искали. Хотя оно дока­зано для машины с идеальным газом, мы уже знаем, что оно справедливо для любой обратимой машины.