Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм

Фейнман Ричард Филлипс

(4.15)

Пользуясь теперь законом Кулона при непрерывном рас­пределении заряда, мы заменяем в уравнениях (4.13) или (4.14) суммы интегралами по всему объему, содержащему заряды. Получается

(4.16)

Некоторые предпочитают писать

где r₁₂ —

вектор смещения от (2) к (1) (фиг. 4.1). Интеграл для Е тогда запишется в виде

(4.17)

Если мы хотим действительно провести интегрирование до конца, то обычно приходится интегралы расписывать подробнее. Для x-компоненты уравнений (4.16) или (4.17) получается

Мы не собираемся вычислять что-либо по этой формуле. Написали мы ее здесь только для того, чтобы подчеркнуть, что мы полностью решили те электростатические задачи, в которых известно расположение всех зарядов.

Дано: Заряды.

Определить: Поля.

Решение: Возьми этот интеграл.

Так что по существу все сделано; остается только проделать сложные интегрирования по трем переменным. Эта работа в са­мый раз для счетной машины!

Пользуясь этими интегралами, мы можем найти поле за­ряженной плоскости, заряженной линии, заряженной сферы и любого выбранного распределения. Хотя мы сейчас начнем чер­тить силовые линии, говорить о потенциалах и вычислять ди­вергенции, важно понимать, что ответ на все решаемые задачи в принципе уже готов. Просто порой бывает легче взять интег­рал, придумав фокус, чем проделывать все выкладки чест­но. Но чтобы догадываться, нужно научиться разным ухищ­рениям. Быть может, лучше было бы вычислять интегралы не­посредственно, а не тратить силы на остроумные способы реше­ния да демонстрировать свою сообразительность. Но все-таки мы пойдем по пути развития сообразительности. Переходим, таким образом, к обсуждению некоторых других особенностей электрического поля.

§ 3. Электрический потенциал

Для начала усвоим понятие электрического потенциала, связанное с работой переноса заряда из одной точки в другую. Пусть имеется какое-то распределение зарядов. Оно создает электрическое поле. Спрашивается, какую работу надо затра­тить, чтобы перенести небольшой заряд из одной точки в другую? Работа, произведенная против действия электрических сил при переносе заряда по некоторому пути, равна минус компоненте электрической силы в направлении движения, проинтегрирован­ной по этому пути. Если заряд переносится от точки а к точке b, то

Фиг. 4.2. Работа переноса заряда от а к b равна минус интегралу от F·ds no выбранному пути.

где F — электрическая сила, действующая на заряд в каждой точке, a ds — дифференциал вектора перемещения вдоль траек­тории (фиг. 4.2).

Для наших целей интереснее рассмотреть работу переноса единицы заряда. Тогда сила, действующая на такой заряд, численно совпадает с электрическим полем. Обозначая в этом случае работу против действия электрических сил буквой W_един , напишем

(4.19)

Вообще говоря, то, что получается при интегрированиях такого сорта, зависит от выбранного пути интегрирования. Но если бы интеграл в (4.19) зависел от пути, мы бы могли извлечь из поля работу, поднеся заряд к b по одному пути и унеся обратно к а по другому. Можно было бы подойти к b по тому пути, где W меньше, а удалиться по тому пути, где оно больше, получив работы

больше, чем было вложено,

В принципе нет ничего невозможного в том, чтобы получать работу из поля. Мы еще познакомимся с полями, в которых это возможно. Может оказаться, что, двигая заряды, вы действуете на остальную часть всего «механизма» с какой-то силой. Если «механизм» сам движется против этой силы, он будет терять энергию, и полная энергия будет тем самым оставаться постоян­ной. В электростатике, однако, никакого «механизма» нет. Мы знаем, каковы те силы отдачи, которые действуют на источ­ники поля. Это кулоновские силы, действующие на заряды, ответственные за создание поля. Если положения всех прочих зарядов зафиксированы (а это допущение делается в одной только электростатике), то силы отдачи на них не смогут дей­ствовать. И тогда нет способа извлечь из них энергию, разу­меется, при условии, что принцип сохранения энергии в элект­ростатике справедлив. Мы, конечно, верим, что это так, однако попробуем все же показать, как это следует из закона силы Кулона.

Посмотрим сначала, что происходит в поле, созданном еди­ничным зарядом q. Пусть точка а удалена от q на расстояние r₁, а точка b — на расстоя­ние r₂.

Фиг. 4.3. При переносе проб­ного заряда от а к b по любому пути тратится одна и та же работа.

Перенесем теперь другой заряд, называемый «пробным» и равный еди­нице, от а до b. Изберем сперва самый легкий для расчета путь. Перенесем наш пробный заряд снача­ла по дуге круга, а после no радиусу (фиг. 4.3, а).

Рассчитать работу переноса по такому пути - детская забава (а иначе бы мы его и не выбрали). Во-первых, на участке aa' работа не производится. Поле по закону Кулона радиально, т. е. направлено поперек направления движения. Во-вторых, на участке a'b поле меняется как 1/r² и направлено по движению. Так что работа переноса пробного заряда от а к b равна

Выберем теперь другой легкий путь, скажем тот, который изображен на фиг. 4.3, б. Он идет попеременно то по дуге ок­ружности, то по радиусу. Каждый раз, когда путь пролегает по дуге, никакой работы не затрачивается. Каждый раз, когда путь идет по радиусу, интегрируется 1/r². По первому радиаль­ному участку интеграл берется от r_aдо r_a’., по следующему — от r_а. до r_а" и т. д. Сумма всех таких интегралов как раз равна одному интегралу, но в пределах от r_адо r_{b. В общем получится тот же ответ, что и в первом испробованном нами пути. Ясно, что и для любого пути, составленного из произвольного числа участков такого вида, получится тот же результат.}

Ну а как насчет плавных траекторий? Получим ли мы тот же ответ? Этот вопрос мы обсудили в вып. 1, гл. 13. Пользуясь теми же доводами, что и тогда, мы можем заключить, что работа переноса единичного заряда от а до bот пути не зависит:

Фиг. 4.4. Работа, затрачен­ная на движение вдоль любого пути от а до b, равна минус работе от некоторой точки Р ₀ до а плюс работа от Р ₀ до b.