Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Фейнман Ричард Филлипс

§ 2. Преобразование компонент тензора

Вы знаете, что при замене старых осей координат новыми х', у' и z' компоненты вектора Е_х', Е_у', Е_г'тоже оказываются другими. То же самое происходит и с компонентами Р, так что для разных систем координат коэффициенты a_ijоказываются различными. Однако вполне можно выяснить, как должны изме­няться а при надлежащем изменении компонент Е и Р,

ибо, если мы описываем то же самое электрическое поле, но в но­вой системе координат, мы должны получить ту же самую по­ляризацию Р. Для любой новой системы координат P_x' будет линейной комбинацией Р_х, Р_y' , и Р_z':

Р _{x ’} =аР _х +bР _у +сР _z ,

и аналогично для других компонент. Если вместо Р_х, Р_yи Р_{zподставить их выражения через Е согласно (31.4), то получится}

Теперь напишите, как выражается Е_х, Е_yи E_zчерез Е_x' , Е_{y'и Еz' , например,}

E _x = a'E _{x '} +b'E _{y '} +c'E _{z '} ,

где числа а', b' и с' связаны с числами а, b и c, но не равны им. Таким образом, у вас получилось выражение Р_х'через компо­ненты Е_х', Е_y'и E_z' , т. е. получились новые a_ij. Никаких хит­ростей здесь нет, хотя все это достаточно запутано.

Когда мы говорили о преобразовании осей, то считали, что положение самого кристалла фиксировано в пространстве. Если же вместе с осями поворачивать и кристалл, то a не изме­няются. И обратно, если по отношению к осям изменять ориен­тацию кристалла, то получится новый набор коэффициентов а. Но если они известны для какой-то одной ориентации кристал­ла, то с помощью только что описанного преобразования их можно найти и для любой другой ориентации. Иначе говоря, диэлектрические свойства кристалла полностью описываются

заданием компонент тензора поляризуемости a_ij. в любой про­извольно выбранной системе координат. Точно так же как век­тор скорости v = (v_x, v_y , v_z) можно связать с частицей, зная, что три его компоненты при замене осей координат будут изменять­ся некоторым определенным образом, тензор поляризуемости a_ij, девять компонент которого при изменении системы осей координат преобразуются вполне определенным образом, мож­но связать с кристаллом.

Связь между Р и Е в уравнении (31.4) можно записать в бо­лее компактном виде:

где под значком i понимается какая-то из трех букв х, у или z, а суммирование ведется по j=x, у и z. Для работы с тензорами было придумано много специальных обозначений, но каждое из них удобно для ограниченного класса проблем. Одно из та­ких общих соглашений состоит в том, что можно не писать знака суммы (S) в уравнении (31.5), понимая при этом, что когда один и тот же индекс встречается дважды (в нашем случае j), то нужно просуммировать по всем значениям этого индекса. Однако, поскольку работать с тензорами нам придется немного, давайте не будем осложнять себе жизнь введением каких-то специальных обозначений или соглашений.

§ 3. Эллипсоид энергии

Потренируемся теперь в обращении с тензорами. Рассмот­рим такой интересный вопрос: какая энергия требуется для поляризации кристалла (в дополнение к энергии электрического поля, которая, как известно, равна e₀Е²/2 на единицу объема)? Представьте на минуту атомные заряды, которые должны быть перемещены. Работа, требуемая для перемещения одного такого заряда на расстояние dx, равна qE_xdx, а если таких зарядов в единице объема содержится N штук, то для перемещения их требуется работа qE_xNdx. Но qNdx равно изменению дипольного момента единицы объема dP_x. Так что работа, затраченная на единицу объема, равна

E _x dP _x .

Складывая теперь работы всех трех компонент, найдем, ка­кой должна быть работа в единице объема:

E·dP.

Но поскольку величина Р пропорциональна Е, то работа, за­траченная на поляризацию единицы объема от 0 до Р, равна интегралу от E·dP. Обозначая ее через и_р, можно написать

Теперь можно воспользоваться уравнением (31.5) и выра­зить Р через E. В результате получим

Плотность энергии и_р — величина, не зависящая от выбора осей, т. е. скаляр. Таким образом, тензор обладает тем свойст­вом, что, будучи просуммирован по одному индексу (с векто­ром), он дает новый вектор, а будучи просуммирован по обоим индексам (с двумя векторами), дает скаляр.

Тензор a_ijна самом деле нужно называть «тензором вто­рого ранга», ибо у него два индекса. В этом смысле вектор, у которого всего один индекс, можно назвать «тензором первого ранга», а скаляр, у которого вообще нет индексов,— «тензором нулевого ранга». Итак, выходит, что электрическое поле Е будет тензором первого ранга, а плотность энергии u_p — тензором нулевого ранга. Эту идею можно распространить на тензоры с тремя и более индексами и определить тензоры, ранг которых выше двух.