Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II
Шрифт:
Наша задача теперь состоит в том, чтобы отыскать функцию f(х, х'), которая после умножения на y (х)и интегрирования по всем х даст как раз величину y (х'). Но оказывается, что не существует математической функции, которая это умеет делать! По крайней мере не существует ничего похожего на то, что мы обычно имеем в виду под словом «функция».
Выберем какое-нибудь значение х', например 0, и определим амплитуду <0|x> как некую функцию х, скажем f(х). Тогда (14.38) обратится в
Какого же вида функция f(х)могла
<0|x>=d(x), (14.40)
где d (х)определяется соотношением
Посмотрите, что выйдет, если вместо y в (14.41) поставить частную функцию «1». Тогда получится
Иначе говоря, функция d(х)обладает тем свойством, что всюду, кроме х=0, она равна нулю, но интеграл от нее конечен и равен единице. Приходится вообразить, что функция d(х) обладает в одной точке такой фантастической бесконечностью, что полная площадь оказывается равной единице.
Как представить себе, на что похожа d-функция Дирака? Один из способов — вообразить последовательность прямоугольников (или другую, какую хотите функцию с пиком), которая становится все уже и уже и все выше и выше, сохраняя все время единичную площадь, как показано на фиг. 14.2.
Фиг. 14.2. Последовательность функций, ограничивающих единичную площадь, вид которых все сильнее и сильнее напоминает d-функцию.
Интеграл от этой функции от -Ґ до +Ґ всегда равен единице. Если вы умножите ее на произвольную функцию y(х)и проинтегрируете произведение, то получите нечто, приближенно совпадающее со значением функции при х=0, причем приближение становится все лучше и лучше, по мере того как прямоугольники становятся уже и уже. Если хотите, можете представлять d-функцию посредством такого рода предельного процесса. Но единственно здесь важно то, что d-функция определена так, что (14.41) справедливо для каждой волновой функции y (х).
Это однозначно определяет d-функцию. Ее свойства тогда получаются такими, как было сказано.
Заменим аргумент d-функции с х на х- х', и соотношения обратятся в d(х-x')=0,
Если в (14.38) вместо амплитуды <x|х'> подставить d(x– х'), то это уравнение будет выполнено. В итоге получаем, что для наших базисных состояний с координатой х условие, соответствующее формуле (14.36), имеет вид
<x'|x>=d(x– х'). (14.44)
Теперь мы завершили все необходимые видоизменения наших основных уравнений, нужные для работы с континуумом базисных
А что бывает, когда частиц не одна, а больше? Мы расскажем вам, как управляться с двумя частицами, и вы сразу поймете, что нужно делать, если вам понадобится оперировать с несколькими частицами. Пусть имеются две частицы; назовем их № 1 и № 2. Что применить в качестве базисных состояний? Одну вполне приемлемую совокупность можно задать, сказав, что частица № 1 находится в х1, а частица № 2 — в х2, и записав это в виде
|x1, х2>. Заметьте, что указание координаты только одной частицы не определяет базисного состояния. Каждое базисное состояние обязано определять условия всей системы целиком. Вы не должны думать, что каждая частица движется независимо как трехмерная волна. Всякое физическое состояние |y> можно определить, задав все амплитуды <x1, х2|y> того, что пара частиц будет обнаружена в х1и x2. Эта обобщенная амплитуда поэтому является функцией двух совокупностей координат x1 и x2. Вы видите, что такая функция — это уже не волна в смысле колебания, которое разбегается в трех измерениях. Точно так же это и не простое произведение двух самостоятельных волн, по одной для каждой частицы. Это в общем случае какая-то волна в шести измерениях, определяемых числами х1и x2. Если в природе имеются две взаимодействующие частицы, то не существует способа описать то, что происходит с одной из частиц, попытавшись выписать волновую функцию для нее одной. Известные парадоксы, которые мы рассматривали в первых главах (где объявлялось, что измерения, проделанные над одной частицей, в состоянии предсказать, что будет с другой, или что они могут разрушить интерференцию), причинили людям много неприятностей, потому что они пытались придумывать волновую функцию одной отдельной частицы вместо правильной волновой функции координат обеих частиц. Полное описание можно правильно провести только в терминах функций координат обеих частиц.
§ 5. Уравнение Шредингера
До сих пор мы просто заботились о том, как бы записать состояния, которые бы учитывали, что электрон может находиться в пространстве где угодно. Теперь же следует позаботиться о включении в наше описание физики того, что может произойти в тех или иных обстоятельствах. Как и прежде, надо подумать о том, как состояния будут меняться со временем. Если у нас есть состояние |y>, которое несколько позже переходит в другое состояние |y>, то положение в любой момент мы сможем описать, сделав волновую функцию (т. е. попросту амплитуду <r|y>) функцией не только координат, но и времени. Частицу в данных условиях можно будет тогда описывать, задавая меняющуюся во времени волновую функцию y (r, t) =y (х, у, z, t). Эта меняющаяся во времени волновая функция описывает эволюцию последовательных состояний, которая происходит с течением времени. Это так называемое «координатное представление»; оно дает проекции состояния |y> на базисные состояния |r> и не всегда может считаться самым удобным, но мы с него
и начнем.
В гл. 6 мы описали на языке гамильтониана Нij., как состояния меняются во времени. Мы видели, что временная вариация различных амплитуд дается матричным уравнением
Это уравнение говорит, что изменение во времени каждой из амплитуд Сiпропорционально сумме всех прочих амплитуд Сj