Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Фейнман Ричард Филлипс

Если вас тревожит, что такого рода рассуждения могут в квантовой механике оказаться неправильными, стоит потратить минутку, чтобы показать, что и по квантовой механике все обстоит так же. Начальное (дораспадное) состояние, которое мы обозначим |L⁰, спин по + z), обладает тем свойством, что если его повернуть вокруг оси z на угол j, то вектор состояния умножается на фазовый множитель e^ij/2. (В повернутой системе вектор состояния равен e^itf/2|L⁰, спин но + z>.) Именно это и имеют в виду, говоря о спине вверх у частицы со спином ¹/₂.

Поскольку

поведение природы не зависит от нашего выбора осей, то конечное состояние системы «протон плюс пион» должно обладать тем же свойством. Конечное состояние мы можем, на­пример, записать в виде

1 протон летит по +z, спин по +z; пион летит по -z>.

Но движение пиона на самом деле не нужно оговаривать, потому что в выбранной нами системе пион всегда движется противоположно протону; наше описание конечного состояния можно упростить до

1 протон летит по + z, спин по + z>.

Так что же случится с этим состоянием, если мы повернем си­стему координат вокруг оси z на угол j?

Раз протон и пион движутся вдоль оси z, их движение пово­ротом не изменишь. (Вот почему мы и выбрали этот частный случай; иначе бы наше рассуждение не прошло.) Значит, с пио­ном ничего не случится, потому что спин его равен нулю. У про­тона, однако, спин равен ¹/₂. Если его спин направлен вверх, он в ответ на поворот изменит фазовый множитель в e^ij/2 раз. (А если бы спин его был направлен вниз, то изменение фазы стало бы e^{– ij/2}.) Но если момент количества движения обязан сохра­няться (а это так, ибо в гамильтониане нет факторов, завися­щих от внешних воздействий), то изменение фазы из-за поворота должно быть до распада и после распада одно и то же. Итак, единственная возможность состоит в том, что спин протона будет направлен вверх. Если протон двинулся вверх, то и спин его должен быть направлен вверх.

Мы, следовательно, заключаем, что сохранение момен­та количества движения разрешает процесс, показанный на фиг. 15.7, б, но не разрешает процесса, показанного на фиг. 15.7, в. А раз мы знаем, что распад все же про­исходит, то, значит, имеется некоторая амплитуда для процесса, показанного на фиг. 15.7, б, когда протон летит вверх и спин его при этом тоже смотрит вверх. И мы обозначим буквой а амплитуду того, что в бесконечно малый промежуток времени произойдет такой распад.

Теперь посмотрим, что было бы, если бы спин L⁰ вначале был направлен вниз. Опять рассматриваем распады, в кото­рых протон взлетает вверх по оси z, как показано на фиг. 15.8.

Фиг. 15.8. Распад вдоль оси z для L ⁰ со спином, направлен­ным вниз.

Вам, конечно, теперь ясно, что в этом случае спин протона направлен вниз (если только момент коли­чества движения сохра­няется). Обозначим ампли­туду такого распада буквой b.

Об амплитудах а и b мы ничего больше сказать не сможем. Они зависят от внутренней механики час­тицы L⁰ и от слабых распадов, и никто пока не знает, как их подсчитывать. Их приходится полу­чать из опыта. Но, зная только эти две амплитуды, мы можем узнать об угловом распределении распадов все, что захотим. Надо только всегда тщательно и полностью определять те состояния, о которых идет речь.

Мы хотим знать вероят­ность того, что протон вы­летит под углом q к оси z (в некоторый узкий телесный угол qW), как показано на фиг. 15.6. Проведем новую ось z в этом направлении и обозначим ее z'!

Как анализировать, что происходит вдоль этой оси, мы знаем. По отношению к ней спин Л° уже не направлен вверх, а имеет какую-то амплитуду того, что он окажется направленным вверх и какую-то — вниз. Все это мы уже подсчитывали в гл. 4, а потом опять в гл. 8 [уравнение (8.30)] (вып. 8). Амплитуда того, что спин будет направлен вверх, есть cosq/2, а амплитуда того, что спин будет смотреть вниз, есть -sin/2. Когда спин L⁰ направлен вверх по оси z', она испустит протон в направлении z с амплиту­дой а. Значит, амплитуда того, что по направлению z пройдет протон, держа свой спин вверх, равна

acosq/2. (15.33)

Точно так же амплитуда того, что вдоль положительной оси z пройдет протон, направив свой спин вниз, равна

– bsinq/2. (15.34)

Те два процесса, к которым относятся эти амплитуды, показаны

на фиг. 15.9.

Фиг. 15.9. Два возможных состояния распада L⁰.

Теперь зададим такой немудреный вопрос. Пусть мы соби­раемся регистрировать протоны, вылетающие под углом q, не интересуясь их спином. Два спиновых состояния (вверх и вниз по оси z') различимы, даже если бы мы того и не хотели. Значит, чтобы получить вероятность, надо амплитуды возвысить в квад­рат и сложить. Вероятность f(q) обнаружить протон в неболь­шом телесном угле qW при q равна

Вспоминая, что

запишем f(q) так:

Угловое распределение имеет вид

Одна часть вероятности не зависит от q, а другая зависит от cosq линейно. Из измерений углового распределения мы можем получить a и b, а значит, и |а| , и |b|.

Можно получить ответ и на многие другие вопросы. Может быть, вас интересуют лишь те протоны, спин которых направлен вверх относительно старой оси z? Каждый член в (15.33) и (15.34) даст амплитуду того, что спин протона окажется направ­ленным вверх или вниз по отношению к оси z' (|+z'> и |-z'>). А состояние, когда спин направлен вверх относитель­но старой оси, | + z), можно выразить через два базисных со­стояния | + z'> и |-z'>. Можно тогда взять две амплитуды (15.33) и (15.34) с надлежащими коэффициентами (cosq/2 и -sinq/2) и получить полную амплитуду

Ее квадрат даст вероятность того, что протон вылетит под углом q со спином, направленным туда же, куда направлен спин L⁰ (вверх по оси z).

Если бы четность сохранялась, можно было бы сделать еще одно утверждение. Распад на фиг. 15.8 — это просто зеркальное отражение, скажем в плоскости yz, распада с фиг. 15.7. Если бы четность сохранялась, b равнялось бы либо a, либо -а. Тогда коэффициента в (15.37) был бы равен нулю и распад оди­наково часто происходил бы во всех направлениях.