Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II
Шрифт:
Существует ли такой ток? Вы знаете, что плотность вероятности P(r, t) выражается через волновую функцию
И вот, я спрашиваю: существует ли такой ток J, что
Если я продифференцирую (19.7) по времени, то получу два слагаемых
Теперь для дy/дt возьмите уравнение Шредингера — уравнение (19.3); кроме того, комплексно его сопрягите, т. е. перемените знак при каждом i, чтобы получить дyj/дt. У
Члены с потенциальной энергией и многие другие члены взаимно уничтожатся. А то, что останется, оказывается, действительно можно записать в виде полной дивергенции. Все уравнение целиком эквивалентно уравнению
Не так уж сложно, как кажется на первый взгляд. Это симметричная комбинация из y*, умноженного на некоторую операцию над y, плюс y, умноженное на комплексно сопряженную операцию над y*. Это просто некоторая величина плюс комплексно сопряженная ей величина, так что все вместе (как и положено быть) вещественно. Операция запоминается так: это попросту оператор импульса
Тогда это и есть тот ток J, который удовлетворяет уравнению (19.8).
Уравнение (19.8) показывает, что вероятность сохраняется локально. Если частица исчезает из одной области, то она не может оказаться в другой без того, чтобы что-то не протекло в промежутке между областями. Вообразите, что первая область окружена замкнутой поверхностью, которая проведена так далеко, что имеется нулевая вероятность обнаружить на ней электрон. Полная вероятность обнаружить электрон где-то внутри поверхности равна объемному интегралу от Р. Но, согласно теореме Гаусса, объемный интеграл от дивергенции J равняется поверхностному интегралу от J. Если y на поверхности равно нулю, то (19.12) утверждает, что и J есть нуль; значит, полная вероятность отыскать частицу внутри поверхности не может измениться. Только тогда, когда часть вероятности достигает границы, какая-то ее часть может вытечь наружу. Мы вправе говорить, что она выбирается наружу только через поверхность— это и есть локальная сохраняемость.
§ 3. Два рода импульсов
Уравнение для тока довольно интересно, хотя порой причиняет немало забот. Ток можно было бы считать чем-то вроде произведения плотности частиц на скорость. Плотность выглядела бы как yy*, так что здесь все в порядке. Каждый член в (19.12) напоминает типичное выражение для среднего значения оператора
Поэтому, быть может, следовало бы рассматривать его как скорость потока? Но тогда получается, что скорость с импульсом можно связать двояким образом, ведь с равным правом можно было бы считать, что скоростью должно быть отношение импульса к массе
Оказывается, те же две возможности имелись еще в классической физике, и в ней тоже было найдено, что импульс можно определить двумя путями. Один можно назвать «кинематическим импульсом», но для абсолютной ясности я в этой лекции буду его называть «mv– импульсом». Это импульс, получаемый от перемножения массы на скорость. Другой, более математичный, более отвлеченный импульс, именуемый иногда «динамическим импульсом», а я его буду называть «р– импульс». Итак, у нас есть две возможности:
mv-импульс=mv, (19.14)
р-импульс=тv+А. (19,15)
И вот оказывается, что в квантовой механике, включающей магнитные поля, с оператором градиента
Здесь я хотел бы немного отклониться от темы и пояснить, почему так получается—отчего в квантовой механике должно быть нечто похожее на (19.15). Волновая функция меняется со временем, следуя уравнению Шредингера (19.3). Если бы я внезапно изменил векторный потенциал, то в первое мгновение волновая функция не изменилась бы, а изменилась бы только скорость ее изменения. Теперь представьте себе, что случится в следующих обстоятельствах. Пусть имеется длинный соленоид, в котором я создаю поток магнитного поля (поля В), как показано на фиг. 19.2.
Фиг. 19.2.
А поблизости сидит заряженная частица. Допустим, что этот поток почти мгновенно с нуля вырастает до какого-то значения. Сперва векторный потенциал равен нулю, а потом я его включаю. Это означает, что я внезапно создаю круговой вектор-потенциал А. Вы помните, что криволинейный интеграл от А вдоль петли это то же самое, что поток поля В сквозь петлю [см. гл. 14, § 1 (вып. 5)]. И что же происходит, когда я мгновенно включаю векторный потенциал? Согласно квантовомеханическому уравнению, внезапное изменение А не вызывает внезапного изменения y; волновая функция пока та же самая. Значит, и градиент не изменился.
Но вспомните, что происходит электрически, когда я внезапно включаю поток. В течение краткого времени, пока поток растет, возникает электрическое поле, контурный интеграл от которого равен скорости изменения потока во времени
Е=-дA/дt. (19.16)
Если поток резко меняется, то электрическое поле достигает огромной величины и оказывает сильное воздействие на частицу. Эта сила равна произведению заряда на электрическое поле; стало быть, в момент появления потока частица получает полный импульс (т. е. изменение в mv), равный -qА. Иными словами, если вы подействуете на заряд векторным потенциалом, включив его внезапно, то этот заряд немедленно схватит mv-импульс, равный -qА. Но имеется нечто, не меняющееся немедленно,— это разность между mvи -qА.Стало быть, сумма p=mv+qAи есть то, что не меняется, если вы подвергаете вектор-потенциал внезапному изменению. Именно эту величину мы именуем p– импульсом, именно она играет важную роль в классической динамике; она же оказывается существенной и в квантовой механике. Эта величина зависит от характера волновой функции и является преемником оператора
при наличии магнитного поля.
§ 4. Смысл волновой функции
Когда Шредингер впервые открыл свое уравнение, он открыл заодно, что закон сохранения (19.8) есть следствие этого уравнения. Но он неправильно решил, что Р это плотность электрического заряда электрона, a J — плотность электрического тока, т. е. он думал, что электроны взаимодействуют с электромагнитным полем через эти заряды и токи. Решая свои уравнения для атома водорода и вычисляя y, он не вычислял никакой амплитуды (в то время еще не было амплитуд), а толковал это совершенно иначе. Атомное ядро было стационарно, вокруг же него текли токи; заряды Р и токи J генерировали электромагнитные поля, и все вместе это излучало свет. Но вскоре, решая задачу за задачей, он понял, что рассуждает не вполне правильно. И именно в этот момент Борн выдвинул весьма нетривиальную идею. Именно Борн правильно (насколько нам известно) отождествил y в уравнении Шредингера с амплитудой вероятности, предположив, что квадрат амплитуды — это не плотность заряда, а всего лишь вероятность (на единицу объема) обнаружить там электрон и что если вы находите электрон в некотором месте, то там окажется и весь его заряд. Вся эта идея принадлежит Борну.
Волновая функция y(r) электрона в атоме не описывает, стало быть, размазанного электрона с плавно меняющейся плотностью заряда. Электрон может быть либо здесь, либо там, либо где-то еще, но где бы он ни был, он всегда—точечный заряд. Но, с другой стороны, представим себе случай, когда огромное число частиц находится в одном и том же состоянии, очень большое их число с одной и той же волновой функцией. Что тогда? Одна из них будет здесь, другая — там, и вероятность обнаружить любую из них в данном месте пропорциональна yy*. Но поскольку частиц так много, то, если я посмотрю в какой-нибудь объем dxdydz, я, вообще говоря, обнаружу там примерно yy*dxdydz частиц. Итак, когда y— волновая функция каждой из огромного количества частиц, поголовно пребывающих в одном и том же состоянии, то в этом случае yy* можно отождествлять с плотностью частиц. Если в этих условиях все частицы несут одинаковые заряды q, то мы можем пойти дальше и отождествить y*y с плотностью электричества. Обычно, если yy* имеет размерность плотности вероятности, то yy* надо умножить на q, чтобы получить размерность плотности заряда. Для наших теперешних целей мы можем включить этот постоянный множитель в y и принять за плотность электрического заряда само yy*. Если помнить об этом, то J^ (тот ток вероятности, который я вычислил) можно будет считать просто плотностью электрического тока.