Философия Науки. Хрестоматия
Шрифт:
Второй принцип разбиения, который необходимо иметь в виду, - это Уровень строгости теории. Теория в своем становлении проходит ряд этапов, начиная с комплекса общих схематических идей и предпосылок и кончая логически безупречным построением, элиминирующим все интуитивное. При всей важности такого подхода здесь царит полная неопределенность. На практике ученый не доводит свою теорию до идеала логики. При знании средств и путей перехода от «нестрогой» к «строгой» теории эта незавершенность найдет свое оправдание.
Реальный путь познания - движение от нестрогой к строгой теории, путь же изучения метатеоретика обратный - от строгой к нестрогой теории.
Наконец, мы должны обратить внимание и на такое основание, как логический тип теории, т.е. на принципы построения и логические средства научных теорий. Иногда отождествляют всякую строго построенную научную
II
Под аксиоматической теорией понимают научную систему, все положения которой выводятся чисто логически из некоторого множества положений, принимаемых в данной системе без доказательства и называемых аксиомами, и все понятия сводятся к некоторому фиксированному классу понятий, называемых неопределяемыми.
Теория будет определена, если указана система аксиом и совокупность логических средств, применяемых в данной теории. Для аксиоматической теории такими логическими средствами будут правила вывода. Производные понятия в аксиоматической теории суть лишь сокращения для комбинации основных. Допустимость самих комбинаций определяется аксиомами и правилами вывода. Другими словами, определения в аксиоматических теориях носят номинальный характер. (Вариант, когда аксиоматическая система строится на основе так называемых реальных определений, сводится к аксиоматической системе с номинальными определениями и соответствующими аксиомами существования.)
Аксиоматический метод прошел длительную эволюцию. В ряде случаев этапы, им пройденные, не являются лишь историческими ступенями, а соответствующим образом уточненные представляют различные виды или уровни аксиоматического метода. Можно вычленить три таких этапа: содержательной, формальной и формализованной аксиоматик.
Под содержательной аксиоматической теорией понимают теорию относительно некоторой системы объектов, известной до формулировки теории; аксиомы и выводимые из них теоремы говорят нечто об объектах изучаемой системы и могут расцениваться как истинные или ложные. Задача аксиоматической теории состоит в том, чтобы найти такую систему аксиом, чтобы все значимые относительно этой системы объектов общие положения выводились чисто логически из принятой системы аксиом. В качестве примера содержательной аксиоматической системы можно привести термодинамику. Метод содержательной аксиоматики был единственной формой аксиоматического метода до последней четверти прошлого столетия.
Новым этапом и соответственно новым уровнем является формальная аксиоматика, систематически проведенная в «Основаниях геометрии» Д. Гильбертом. При формальной аксиоматике абстрагируются от конкретного содержания понятий, входящих в систему аксиом, и от природы предметной области. В основу формальной аксиоматики кладется система аксиом, затем из этих аксиом получают следствия, которые образуют теорию относительно любой системы объектов, удовлетворяющей положенным в основу аксиомам. В формальной аксиоматике явно выступает ее экзистенциальный характер, так как в ней «имеют дело с постоянной системой вещей, разграниченная прямо область субъектов которой образована для всех предикатов, из которых составляются высказывания теории». Другими словами, аксиоматически-экзистенциальный подход основывается на такой сильной идеализации, как идеализация актуальной бесконечности. Переход к формальной аксиоматике делает необходимым доказательство ее непротиворечивости. Если бы теория была противоречивой, то в ней можно было бы доказать любое положение и она потеряла бы всякую значимость как средство отображения действительности. Каким же образом можно доказать непротиворечивость формальной системы?
Ссылка на соответствующую формальной системе содержательную аксиоматику, т.е. ссылка на определенный фрагмент действительности, ничего не даст. Дело в том, что всякая аксиоматическая система (в том числе и содержательная) есть некоторая упрощенная идеализация, лишь приблизительно соответствующая действительности. Переходя от содержательной аксиоматики к формальной и доказывая непротиворечивость последней, имеют цель доказать внутреннюю пригодность этой идеализации. Ссылка же для доказательства пригодности какой-либо идеализации на саму эту идеализацию явно представляет круг. Сказанное не означает, что непротиворечивость нельзя доказать методом моделей. Как раз, напротив, показав,
Непротиворечивость одной теории сводится к непротиворечивости другой - круг Раздвигается, по не разрывается.
Чтобы выйти из этого круга, Д. Гильберт предложил доказывать непротиворечивость в отрицательном смысле, т.е. аксиоматическая система непротиворечива, если в этой системе не может быть выведено предложение А и его отрицание.
Для достижения этой цели, согласно программе Гильберта, надо представить аксиоматическую систему в исчислении, трансформировав правила логики в правила оперирования символами, в правила исчисления. После этого вопрос о непротиворечивости аксиоматической системы сводится к доказательству невозможности получения в исчислении формулы определенного вида. Само исчисление, которое является формализацией аксиоматической теории, рассматривают как аксиоматическую систему 3-го уровня. Иногда под аксиоматической системой в строгом смысле слова имеют в виду только исчисление, только формализм. Мы будем называть аксиоматическую систему на этом уровне формализованной теорией, аксиоматическим исчислением. С.420-421.
Генетический метод является методом, в рамках которого изучается формализм. Д. Гильберт считает, что в рамках генетического метода вполне возможно решить вопрос о непротиворечивости исчислений, но он недостаточен для прямого обоснования математики.
Задача обоснования теоретико-множественной системы мышления (на которой основывается аксиоматический метод второго уровня) решается Гильбертом путем формализма (аксиоматической системы третьего уровня) в рамках генетической (рекурсивной) системы мышления. Для Гильберта и формалистов последняя система мышления является слишком слабой, чтобы доставлять интерпретации даже для простых аксиоматических исчислений. Для них генетический метод является лишь средством обоснования аксиоматического метода. С. 422.
III
В чем же характерные особенности генетического метода, безотносительно к частным ограничениям? В чем его отличие от аксиоматического метода? Эго отличие мы видим, во-первых, в способе введения объектов теории и, во-вторых, в логической технике этих теорий.
При аксиоматическом методе область предметов, относительно которой строится теория, не берется за нечто исходное; за исходное берут некоторую систему высказываний, описывающих некоторую область объектов, и систему логических действий над высказываниями теории.
При генетическом подходе отправляются как от исходного от некоторых налично данных объектов и некоторой системы допустимых действий над объектами. В генетической теории процесс рассуждения представлен в «форме мысленного эксперимента о предметах, которые взяты как конкретно наличные». С. 422-423.
Элементарные действия над объектами теории считаются также данными и всегда осуществимыми. Мы абстрагируемся от реальных возможностей осуществления операций. Поэтому в генетической теории рассуждают не только о тех объектах, которые действительно построены, точнее, представители которых построены, но и о тех, которые могут быть построены из уже построенных посредством допустимых действий. Если даны исходные объекты и метод построения какого-то объекта, то о последнем рассуждают как о чем-то уже данном. Объекты теории задаются через указание исходных объектов и процедур получения из данных объектов новых. С. 423.