Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых
Шрифт:
Похоже, Ферма был первым, кто разработал аналитическую геометрию, но Декарт первым опубликовал работу о ней. Подобные ситуации случались в то время очень часто. Но так как эти ученые обменивались информацией в эпистолярной форме через Мерсенна, возникли обвинения в плагиате. Тем не менее кажется очевидным, что они оба пришли к своим выводам независимо друг от друга, поскольку их подходы различаются. Декарт исходит из геометрической кривой и изучает ее уравнение, в то время как Ферма исходит из уравнения и изучает, какая кривая ему соответствует и каковы ее свойства. Это прохождение одного пути с двух противоположных сторон.
ФУНДАМЕНТ
Первым, кто попытался продвинуться в методе вычисления площадей и объемов, работая в строгом девнегреческом стиле, был Бонавентура Кавальери (1598-1647), ученик Галилея. В 1635 году он опубликовал свою работу "Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного". Ученый утверждал, что все фигуры образованы из ряда базовых элементов, которые он называет неделимыми. То есть площадь образована неопределенным числом параллельных отрезков (см. рисунок), а объем — параллельными плоскими поверхностями.
Любая поверхность образована неопределенным числом параллельных отрезков.
Неделимые — это минимальные элементы, на которые можно разложить фигуру. В "Шести геометрических этюдах" (1647) Кавальери изложил идею о том, что линия состоит из точек, как бусы из четок; плоскость сделана из линий, как волокна на ткани, а твердое тело образовано плоскими поверхностями, как листы в книге. Благодаря этой идее ему удалось найти квадратуру, то есть площадь, кривых типа xk для значений k, равных 6 и 9. Если использовать современную запись, Кавальери доказал, что:
a
xn dx = (an+1)/(n+1)
0
Он сформулировал утверждение, известное как принцип Кавальери: "Если при пересечении двух тел любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, получаются сечения равной площади, то объемы тел равны между собой". На рисунке 1 на следующей странице можно увидеть конкретный случай из двух треугольников с одинаковым основанием и высотой, где неделимые одинаковы, следовательно площадь одна и та же.
Несмотря на критику, которую получил метод Кавальери, многие математики пошли по тому же пути неделимых. Ферма, Торричелли, Паскаль и Роберваль также предложили похожие методы, хотя и заменив линии другими элементами, такими как прямоугольники, треугольники, параллелепипеды или цилиндры.
РИСУНОК 1. Два треугольника с одинаковым основанием и высотой имеют одну и ту же площадь.
РИСУНОК 2. Метод Кавальери для нахождения площади области, ограниченной параболой.
Жиль де Роберваль, один из членов-основателей Парижской академии наук, заменил линии Кавальери бесконечно малыми прямоугольниками. Он чертил ряд прямоугольников одной и той же ширины и предполагал, что площадь под кривой можно приблизить к площади этих
a
x2 dx .
0
Возьмем n прямоугольников, расположенных на горизонтальной оси. При этом t означает порядковый номер прямоугольника. Пусть подобный прямоугольник имеет основание е, тогда высотой его будет значение функции параболы, соответствующее абсциссе t • е. Следовательно, его площадь равна е • (t • е)2. Если сложить все прямоугольники, получится:
А = е -е2 + е • (2е)2 + е • (Зе)2 + ... + е- (ne)2 =
= е3 + 4е3 + 9е3 +... + n2 • е3 = е3– ( 1 + 4 + 9 +... + n2).
Сумма членов ряда квадратов уже нам известна и равна:
n3/3+n2/2+n/6,
и если обозначить через а сумму п значений ширины прямоугольников, то есть a = ne, то:
e = a/n,
и предыдущее выражение превращается в:
A = (a/n)3(n3/3+n2/2+n/6) = a3(n3/3n3+n2/2n3+n/6n3) = a3(1/3+1/2n+1/6n2).
Поскольку предполагается, что n — достаточно большое число для оптимального приближения, дробями с n в знаменателе можно пренебречь, ведь значение этих дробей приближается к нулю, и получается, что площадь под параболой равна:
a3/3.
ГИГАНТЫ
Были и другие математики, которые настолько близко подошли к определению анализа бесконечно малых, что как бы расстелили ковровую дорожку, по которой Ньютон и Лейбниц вошли в историю. Английский математик Джон Уоллис, королевский криптограф, представил в 1656 году свою главную работу "Арифметика бесконечного", в которой на основе работ Декарта и Кавальери изложил свой метод работы с бесконечно малыми. Уоллис вычислил квадратуру гипербол, то есть кривых, уравнения которых имеют вид:
1/xr
где r не равно 1.
В своем методе он пользовался скорее алгебраической базой, чем геометрической, как частично делали Ферма и Роберваль. Чтобы найти площадь, замыкаемую кривой у = х3, Уоллис использовал отношение между треугольниками и квадратами с одинаковой длиной основания. В них он провел неделимые линии, которые их образовывают, и сложил кубы их длин, поскольку мы работаем с х3. Если есть только две линии, в треугольнике мы получаем длины со значениями 0 и 1, в то время как в квадрате обе линии равны 1. Получается следующее отношение: