Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых
Шрифт:
Действительно, Гийом Франсуа Антуан, маркиз де Лопиталь (1661-1704), нанял Иоганна для того, чтобы тот объяснил ему детали анализа бесконечно малых. На основе полученной на этих уроках информации он опубликовал первый в истории учебник математического анализа: "Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий" (1696). Лопиталь издал его под своим именем, хотя большинство результатов, представленных в этой книге, принадлежали самому Бернулли.
Оба брата решили множество задач с помощью нового метода: спрямление кривых, вычисление кривизны, эвольвенты, эволюты и точки перегиба. Якоб уделил особое внимание логарифмической спирали и так восхищался ей, что в итоге распорядился изобразить ее на
Одной из форм, благодаря которой больше всего распространялся анализ, была постановка задач. Предложить задачу, чтобы остальные математики ее решали, — в то время такой метод был очень популярен.
В статье 1690 года Якоб решил задачу, предложенную Лейбницем, но также поставил другую: найти форму, которую примет идеально гибкая и однородная кривая под действием только веса, если она закреплена с двух концов. Решением оказалась кривая, известная как цепная линия. Ответ на задачу, помимо Гюйгенса и Лейбница, был найден братом Якоба, Иоганном. Сам Лейбниц позже, в 1692 году, опубликовал статью в "Журналь дэ саван", где снова представил решение и объяснил, как использовать цепную линию в навигации.
В 1696 году Иоганн Бернулли снова бросил вызов математическому миру, особенно английскому, с целью доказать, кто лучше разбирается в новом вычислении. Он просил найти кривую, по которой тело опускается между двух точек, не выстроенных ни в вертикальную, ни в горизонтальную линию, за наименьшее возможное время. Данная кривая называлась брахистохрона. До окончания предусмотренного срока только Лейбниц представил решение, сочтя это очень красивой и до того времени неизвестной задачей. Он же попросил увеличить предоставленное время, чтобы другие математики смогли в срок найти решение. После окончания нового срока было предъявлено только пять решений: Лейбница, братьев Бернулли, Лопиталя и анонимное, присланное из Англии. Изучив последнее, Иоганн сказал: "Льва узнают по когтям". Конечно, оно принадлежало Ньютону. Итак, во всех решениях использовалось новое вычисление. Кстати, решение этой задачи — также обратная циклоида.
ГЛАВА 3
Древние и современные коды
Сегодня мы не представляем нашу жизнь без компьютеров. Но чтобы разбираться в них, нам необходимо освоить язык этих машин, то есть двоичную систему счисления. Именно Лейбниц заложил основы этой системы и, кроме того, усмотрел в ней связь с древними гексаграммами китайской гадательной книги "И Цзин". Он также занимался другими типами языков и даже хотел создать универсальный язык для математического выражения всех идей.
Проектом, который оказался для Лейбница сложной головоломкой, стала организация эксплуатации одной из шахт в Альт- Гарце, к югу от города Гослара, примерно в 100 км от Ганновера. В этих местах были большие залежи серебра, меди, железа и свинца. У Лейбница было несколько идей по улучшению технологии их добычи в шахте.
Среди сочинений, написанных ученым для герцога после посещения Гамбурга в 1678 году, было одно, над которым Лейбниц начал работать еще в Париже. Оно было посвящено тому, что сегодня мы называем возобновляемыми источниками энергии. Лейбниц создал проект системы насосов и ветряных мельниц, которые позволили бы использовать энергию ветра и гидроэнергию для улучшения дренажа шахт. Насосы, разработанные ученым, требовали минимального обслуживания. Конструкция его мельниц позволяла им работать даже при очень слабом ветре и с большей отдачей, чем обычные мельницы. Идея была в том, чтобы использовать мельницы все возможное время и заменять их гидроэнергией, когда они не могут работать. Таким образом создавался постоянно действующий в
За всем этим стояло желание Лейбница, как он сообщил герцогу после одобрения проекта, часть полученных доходов вложить в исследование для увеличения добычи, а другую часть отдать на финансирование Берлинской академии, создание которой он тогда обдумывал. Хотя изначально проект был не очень хорошо принят, в основном из-за расходов, необходимых для строительства большого количества новых сооружений, Лейбниц сумел опровергнуть все контрдоводы. В конце 1679 года ученый получил одобрение герцога на заключение соглашения с Ведомством шахт, которое наряду с герцогом и самим Лейбницем должно было финансировать проект.
Однако с самого начала у Лейбница возникли проблемы с реализацией своего замысла. К открытому саботажу служащих шахт, которые считали его чужаком, не обладающим необходимыми знаниями, добавилась ненастная погода, сменяемая периодами полного безветрия. По-видимому, Лейбниц пренебрег необходимостью изучения ветров в этой местности. Другой сложностью стало строительство сооружений, поскольку в некоторых случаях, когда были нарушены инструкции по изготовлению, машины не работали должным образом, и нужно было переделывать их снова и снова.
В связи с увеличением стоимости, которая в 1683 году была уже почти в восемь раз больше предусмотренной, герцог предложил закрыть проект. Но заплатив из собственного кармана, Лейбниц настоял на том, чтобы его продлили еще на год: он хотел доказать, что план все-таки осуществим. Ему пришлось полностью пересмотреть проект и усовершенствовать конструкцию мельниц так, чтобы их можно было построить за полцены. Также Лейбниц придумал механизм парусов, которые складывались и раскрывались в зависимости от необходимости, и предложил улучшить работу насосов, используя сжатый воздух, но обе идеи оказались неудачными. Позже, в связи со слабостью ветра в этой местности, он разработал горизонтальные мельницы вместо вертикальных, способные работать при любом ветре и даже в грозу. Но их отдача равнялась одной трети от традиционной, поэтому они также оказались нежизнеспособными. Проект окончательно закрыли в 1685 году.
Горное дело не было просто очередным увлечением среди огромного количества интересов Лейбница; совсем наоборот, это была одна из его любимых областей познания. В течение шести лет, которые длился проект, Лейбниц проводил больше половины своего времени в Альт-Гарце, из чего видно, какую огромную работу ему пришлось проделать. Кроме того, он постоянно думал о том, как улучшить добычу. В 1680 году, когда у Лейбница еще была надежда на успех проекта, он написал герцогу, что они смогут получить большую прибыль от соглашения с голландцами на переработку руды из золотых и серебряных шахт на Суматре, собственности Голландской Ост-Индской компании. Годом позже в другом документе Лейбниц советовал герцогу заключить соглашение с императором и курфюрстом Саксонии с целью прийти к общему мнению и вынести его на политическую конференцию, которая должна была состояться во Франкфурте, по вопросу увеличения цены на серебро.
Когда проект был закрыт, Лейбниц, все еще веря в то, что его идеи будут признаны, не перестал заниматься улучшением методов добычи минералов. Он разработал механизм, состоящий из ряда связанных между собой цепью контейнеров: они постоянно поднимались и опускались, позволяя поднимать руду. Так уменьшался расход энергии на подъем контейнера с рудой из недр шахты, поскольку иногда цепь для подъема весила больше, чем сама руда. Эта идея была также не принята, как и другие предложенные ученым новшества.