Физика в примерах и задачах

Кондратьев Александр Сергеевич

7. Узкий электронный пучок.

Для уменьшения размеров пятна на экране электронно-лучевой трубки можно после катода на некотором расстоянии l друг от друга поставить две диафрагмы с отверстиями (рис. 7.1). Покажите, что для второго отверстия существует оптимальный диаметр, соответствующий наименьшему размеру пятна на экране.

Рис. 7.1. Для уменьшения размера пятна на экране можно использовать две диафрагмы с отверстиями

После прохождения ускоряющего промежутка, на который

подано постоянное напряжение V, электроны в трубке движутся равномерно, с практически одинаковыми по модулю импульсами p, определяемыми из соотношения

p^2

2m

=

eV

.

(1)

Для кинетической энергии электронов здесь использовано нерелятивистское выражение, поскольку на практике при ускоряющих напряжениях порядка 10 кВ электроны разгоняются до скорости, не превышающей 0,2 скорости света. Релятивистские поправки составляют при этом всего 2%.

Рис. 7.2. Угловой размер пучка зависит от диаметра d отверстия во второй диафрагме

Будем сначала считать электрон классической частицей, движение которой описывается законами Ньютона. Пусть отверстие в первой диафрагме настолько мало, что его можно считать точечным. В этом случае диаметр пятна на экране трубки будет тем меньше, чем меньше отверстие во второй диафрагме. В самом деле, электроны в пучке движутся прямолинейно, и из рис. 7.2 видно, что угловой размер пятна определяется соотношением

=

d

l

,

(2)

где d - диаметр отверстия во второй диафрагме. Поэтому ясно, что если бы электроны действительно вели себя как классические частицы, то размер пятна на экране трубки можно было бы сделать сколь угодно малым. Но в действительности это не так. Если неограниченно уменьшать диаметр отверстия во второй диафрагме, то классические представления о движении электрона по определённой траектории рано или поздно окажутся неприменимыми. Как определить, с какого момента в рассматриваемой системе начнут проявляться квантовые закономерности и к каким последствиям для размера пятна на экране это приведёт?

Ответ на этот вопрос можно получить с помощью соотношений неопределённостей Гейзенберга, которые устанавливают пределы применимости классического способа описания. Если электрон прошёл через отверстие во второй диафрагме, то неопределённость в значении его координаты в направлении поперёк пучка x определяется размером отверстия d:

x

d

.

(3)

В силу соотношения неопределённостей при прохождении через это отверстие электрон приобретает неконтролируемый импульс p_x, перпендикулярный оси пучка:

p

_x

h

x

h

d

.

(4)

В результате после прохождения диафрагмы появляется неопределённость в направлении движения электрона, обусловленная действием квантовых закономерностей. Для характеристики этой неопределённости удобно ввести угол _кв согласно соотношению

_кв

=

p_x

p

h

pd

.

(5)

Таким

образом, как видно из формулы (5), благодаря квантовым эффектам при уменьшении диаметра отверстия d происходит расширение пучка и, как следствие, увеличение размера пятна на экране трубки. Очевидно, что уменьшать отверстие в диафрагме следует только до тех пор, пока размытие пучка _кв не сравняется с его угловым размером , определяемым классическими траекториями электронов: _кв=. Используя соотношения (5) и (2), из этого условия определяем оптимальный размер отверстия во второй диафрагме:

d

hl/p

.

(6)

Если сделать диаметр отверстия меньше этой величины, то диаметр пятна увеличится вследствие квантовых эффектов.

К результату, выражаемому формулой (6), можно прийти и другим путём, не используя соотношения неопределённостей Гейзенберга. Действие квантовых закономерностей проявляется в том, что электрон обладает волновыми свойствами, которые приводят к дифракционным явлениям. Длина волны , соответствующей электрону, зависит от его импульса и определяется соотношением де-Бройля:

=

h/p

.

(7)

Для того чтобы воспользоваться этим соотношением для ответа на вопрос задачи, нужно прежде всего сообразить, что классическому представлению о движении электронов по определённым траекториям соответствует приближение геометрической оптики, в котором описание распространения волн производится с помощью понятия лучей. Короче - классическим траекториям соответствуют лучи. В рассматриваемом опыте прямолинейному классическому движению электронов между диафрагмами и экраном соответствует пучок прямолинейных лучей. В этом приближении чем меньше размер отверстия, тем меньше размер пятна на экране, в полном соответствии с формулой (2). Но уменьшение размера отверстия в конце концов приведёт к проявлению дифракционных явлений. Дифракционные явления в любом приборе дают отклонения от геометрического закона распространения лучей на углы порядка отношения длины волны к размеру препятствия. Поэтому характерный угловой размер _вол дифракционного расширения при прохождении волны через отверстие диаметром d определяется соотношением

_вол

=

/d

.

(8)

Если подставить сюда дебройлевскую длину волны электрона из формулы (7), то для углового расширения пучка за счёт проявления квантовых эффектов получится прежнее выражение (5).

Приведём числовые оценки для оптимального размера отверстия во второй диафрагме. При ускоряющем напряжении V=10 кВ импульс электрона составляет, как следует из формулы (1), p=5,4·10^{– 18} г-см/с. Примем расстояние между диафрагмами l равным 1 см. Тогда согласно формуле(6)для оптимального диаметра получаем d=3,5·10^{– 5} см. Размер пятна D на экране, отстоящем от диафрагмы на расстояние L, вычисляется, как видно из рис. 7.1, по формуле