Физика в примерах и задачах
Шрифт:
При испускании фотона свободно движущимся атомом импульс атома изменяется, поскольку испущенный фотон обладает импульсом. Следовательно, кинетическая энергия атома также меняется, и энергия фотона h' испущенного движущимся атомом, отличается от h вследствие изменения кинетической энергии атома.
На основании закона сохранения энергии
h'
–
h
=
p^2
2m
–
p^2
2m
,
(1)
где p - импульс атома массы m до испускания фотона, p - после испускания.
Рис. 4.1.
Начальный и конечный импульсы атома можно связать с импульсом испускаемого фотона pф с помощью закона сохранения импульса (рис. 4.1):
p
=
p
+
p
ф
.
(2)
Перенося pф в равенстве (2) в левую часть, возводя полученное равенство в квадрат и учитывая, что импульс фотона крайне мал по сравнению с импульсом излучающего атома, получаем
p^2
–
2pp
ф
cos
p^2
.
(3)
С помощью (3) соотношение (1) можно переписать в виде
h'
–
h
=
p
m
p
ф
cos
.
(4)
Как записать выражение для импульса фотона pф? Так как импульс электромагнитного поля связан с энергией поля W соотношением W=pc, а энергия испущенного фотона равна h', то импульс этого фотона есть
p
ф
=
h'
c
(5)
Подставляя (5) в (4) и учитывая, что p/m есть скорость движения v излучающего атома, находим
'
–
=
'
v
c
cos
,
откуда
'
=
1
–
v
cos
1
–
v
cos
c
c
(6)
с точностью до членов порядка v/c Из этой формулы следует приведённое в условии соотношение
=
v
c
cos
.
Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. Если в формуле, определяющей сдвиг частоты, положить v=0, то получается . Означает ли это, что свет, излучаемый свободным неподвижным атомом, имеет такую же частоту, как и свет, излучаемый «закреплённым» атомом? Даже из интуитивных соображений ясно, что так быть не может из-за явления отдачи: закон сохранения импульса требует, чтобы в результате излучения фотона свободный атом пришёл в движение. В полученной выше приближённой формуле явление отдачи не учтено, так как при её выводе, переходя от (2) к (3), мы пренебрегали импульсом фотона, считая его малым по сравнению с импульсом излучающего атома. Поэтому в окончательной формуле нельзя полагать v=0, так как приведённое решение справедливо только при выполнении условия h/b< Сдвиг частоты, обусловленный явлением отдачи, легко найти с помощью законов сохранения энергии и импульса. Запишем уравнения (1) и (2) для случая p=0: h' – h =- p^2 2m , 0 = p – h' c . Подставляя
'
=-
h'
2mc^2
.
(7)
Таким образом, относительный сдвиг частоты из-за явления отдачи определяется отношением энергии фотона к энергии покоя излучающего атома. Для гамма-квантов, излучаемых атомными ядрами, такой сдвиг оказывается существенным. В оптическом диапазоне /<<1 и формулу (7) можно переписать в виде
=-
h
2mc^2
.
Например, для линий серии Бальмера в спектре атома водорода /~10– 9.
Разумеется, явление отдачи можно учесть и при излучении света движущимся атомом. Для этого при переходе от формулы (2) к (3) нужно сохранить слагаемое, содержащее квадрат импульса фотона. Окончательное выражение для относительного сдвига частоты, кроме (v/c)cos , будет содержать член h'/(2mc^2), который становится главным при v=0.
До сих пор мы рассматривали нерелятивистский случай, когда излучающий атом двигался со скоростью v, много меньшей скорости света c. Интересно выяснить, каким будет обусловленный эффектом Доплера сдвиг частоты, если излучатель движется с большой скоростью, сравнимой со скоростью света c. Это можно сделать, если использовать для энергии и импульса излучающего атома точные релятивистские выражения. Однако проще рассмотреть другой пример - аннигиляцию электрон-позитронной пары, сопровождающуюся излучением двух гамма-квантов. Анализ этого примера даст возможность ответить и на интересующий нас вопрос.
Пусть перед аннигиляцией относительная скорость электрона и позитрона мала, т.е. можно считать, что они оба покоятся. Так как импульс всей системы до аннигиляции равен нулю, то он останется равным нулю и после излучения. Это значит, что образовавшиеся при аннигиляции фотоны летят в противоположные стороны и имеют равные по модулю импульсы h/c и, следовательно, одинаковую частоту . Эта частота сразу находится с помощью закона сохранения энергии: приравнивая энергию фотона энергии покоя электрона и позитрона,
2h
=
2mc^2
.
получаем
=
mc^2
h
.
(8)
Соответствующая этому излучению длина волны =c/, вследствие (8), равна h/mc и называется комптоновской длиной волны электрона.
Теперь рассмотрим этот же процесс аннигиляции электрона и позитрона с точки зрения другой системы отсчёта, относительно которой электрон-позитронная пара перед аннигиляцией движется со скоростью v. Направление скорости v выберем так, чтобы оно совпадало с направлением распространения одного из испущенных фотонов. Обозначим через частоту фотона, излучаемого «вперёд», а через - излучаемого «назад». Тогда в этой системе отсчёта закон сохранения импульса в проекции на направление движения аннигилирующей пары принимает вид
h
c
–
h
c
=
2mv
1-v^2/c^2
.
(9)
При аннигиляции полная релятивистская энергия пары превращается в энергию излучения. Поэтому закон сохранения энергии записывается в виде
h
+
h
=
2mc^2
1-v^2/c^2
(10)
Из системы уравнений (9) и (10) легко найти частоты и . Умножив обе части (9) на с и сложив с уравнением (10), находим :