Газета Троицкий Вариант 40 (27_10_2009)
Шрифт:
Анализ бесконечно малых возник в головах Ньютона и Лейбница в XVII в. Эти два гения, не нуждаясь в формализации своих интуитивных озарений, делали верные умозаключения. Но даже великие математики того времени, полагаясь на интуитивное полупонимание предмета, совершали нелепые и комические ошибки. И лишь 200 лет спустя Коши и Адамар сочинили «язык е — А», на котором можно доказательно рассуждать о бесконечно малых. Так что неформальной альтернативы ему нет, и, если пропустить этот этап обучения, все здание матанализа будет лишено твердого фундамента, а все навыки студента сведутся к непонятным по сути обычаям и пассам.
Так что остается вдохнуть и выдохнуть — и все же одним учить определение предела, а другим — его (по возможности
Есть предел последовательности, есть функции. Аргумент функции может стремиться к некоторому числу слева, справа или с обеих сторон, а может — к ±оо (плюс-минус бесконечности). Значение — к конечному или бесконечному пределу. Если различать +<» и -» (а формулы их различают), мы получим только в случае функций 15 конкретных определений предела. Понятно, что заучить их без понимания — непосильный труд. Они во многом однотипны; надо усвоить их внутреннюю логику.
Сложность для студента представляют три квантора, всегда идущие в одном порядке:
… … … (для любого ... существует ... для любого)
Возникает естественная идея: а что если исходить не из содержания каждого отдельного квантора, а из самой идеи их чередования? Пусть их будет вообще много:
… …… …… …… …… …… …… …
На что это похоже?
Представим себе игру на двоих типа шахмат (чередование ходов), но для простоты — без возможности ничейного исхода. То есть неминуем мат белым (МБ) или мат черным (МЧ). Тогда нетрудно заметить, что из данной позиции мат черным в три хода записывается такой формулой (где б(к); ч(к) — соответственно к-е ходы белых и черных):
б(1) ч(1) б(2) ч(2) б(3) МЧ
(Опять по-русски: Есть такой первый ход белых, что на любой ответ черных найдется — естественно, не универсальный, а зависящий от этого ответа второй ход белых, такой, что на любой ответ черных третьим ходом — белые ставят мат.)
Мат же белым предполагает другое начало — с квантора всеобщности: как бы ни пошли белые, они обречены.
Наша игра «предел» предполагает три хода — белых, черных и белых, потом — сверку полученного результата и непременный выигрыш черных. Вот как выглядит сходимость последовательности к 5 (исходная формула):
Первый играющий называет значение числа е. Например, 0,000000001.
Второй, подумав, выдает N = 16573. Первый вправе назвать любое число больше N. Он называет 16585.
Идет сверка. И х(16585) — 5 оказывается меньше 0,000000001.
Первый расплачивается. Азарт толкает его на повторение эксперимента. Теперь он выдвигает и вовсе микроскопическое s = 0,000000000000000000000000000000000000001.
Второй, подумав, выдает N=178539763. И, вне зависимости от следующего декоративного хода Первого, Второй выигрывает по итогам сверки.
Если Первый — не клинический идиот и не чересчур богат, после получаса игры он понимает две вещи:
1) второй выигрывает всегда (это и есть сходимость — квантор в квантор);
2) так как он выигрывает одним ходом, в нем заключена суть выигрыша.
Опыт показывает, что такая игровая модель наглядна и способствует лучшему усвоению материала.
Здесь же — и возможность немного неформального, нестрогого, но быстрого и конструктивного определения предела, того самого разумного упрощения без катастрофической потери смысла. В подавляющем большинстве случаев сходимость последовательности (функции) — это способ вычисления N (или А) по s. Иначе говоря, решающий ход. Заметим, что просто наблюдением за формулой предела выделить из нее решающее звено 3 N(s) не так-то легко. А в метафоре игры — мгновенно.
Всматривание в природу решающего хода наводит на еще одну модель. Давайте будем говорить о сходимости как о существовании машинки, перерабатывающей в N (или ). Вот такой: ->– > . Тогда доказательства
Здесь надо сказать, что этот (довольно очевидный) язык — с «распараллеливанием» s на две машинки, с черными ящичками и т.п. — оказывается весьма современным. Отвинтив боковую стенку компьютера, любой студент видит нечто подобное. Поэтому здесь идет оживление формулы, визуализация.
К сожалению, в большинстве вузов мальчики и девочки довольно бойко дифференцируют и вычисляют пределы, не зная, что такое производная и предел. По-моему, этот компромисс вреден со многих точек зрения. Об этом можно впоследствии поговорить отдельно.
Леонид Костюков
ФЦП «Кадры» — гладко было на бумаге...
«Троицкий вариант» продолжает отслеживать ход конкурсов Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России»
Федеральная целевая программа (ФЦП) «Кадры» была задумана, чтобы поддержать лучшие научно-образовательные центры, научные группы и отдельных молодых исследователей. Пробив себе дорогу в серьезной конкуренции с проектами многих других федеральных целевых программ, ФЦП «Кадры», наконец, заработала в этом году, пусть первоначально планировавшиеся расходы на нее и были урезаны в связи с кризисом. Однако ей не суждено было оправдать надежд на качественное отличие в организации конкурсов и экспертизы от того, что как это устроено в уже действующих федеральных целевых программах научно-технической направленности. Виной тому в первую очередь Федеральный закон от 21.07.2005 № 94-ФЗ «О размещении заказов на поставки товаров, выполнение работ, оказание услуг для государственных и муниципальных нужд» и психология чиновников, не желающих отступать от наработанных шаблонов проведения конкурсов. Дело в том, что Федеральный закон 94-ФЗ устанавливает такие правила оценки заявок, подаваемых на конкурсы, которые практически не учитывают особенностей научно-образовательной сферы (см. выпуск «Троицкого варианта» от 17 марта 2009 г.), и, кроме того, прописывает процедуру подачи заявок, неудобную для нормальной организации научных конкурсов, а чиновники по своей инициативе делают процедуру подачи заявок еще более тяжелой и запутанной.
110
http://trv-science.ru/2009/10/27/fcp-kadry-gladko-bylo-na-bumage/#respond
В случае конкурсов научно-образовательных центров (НОЦ), проводимых Роснаукой, у которой был определенный опыт проведения конкурсов научной направленности (ведущие научные школы и т.д.), конкурсная документация была неудобной. Но -насколько это позволяет Федеральный закон 94-ФЗ — она была хотя бы относительно адекватной и, если так можно выразиться, посильной для коллективов НОЦ. Поэтому основные содержательные потери были связаны с диктуемыми федеральным законом критериями оценки заявок (из числа победивших коллективов менее двух третей выиграли бы, если бы заявки оценивались только по научным критериям). А вот в конкурсах Рособразова-ния, никогда не проводившего массовых научных конкурсов, конкурсная документация оказалась крайне неудобна и громоздка для заявителей. В результате «основной тур» конкурсов для научных групп под руководством докторов и кандидатов наук, а также для молодых кандидатов наук и аспирантов, прошедший в мае — августе 2009 г., оказался без преувеличения провальным.