Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Шрифт:
61. Докажите, что точки А, В, С лежат на одной прямой (рис. 123). (3)
Рис. 123.
62. Пусть точка А расположена внутри круга радиуса R на расстоянии а от его центра. BB1 – произвольная хорда, проходящая через А. Тогда произведение ВА ? АВ1 постоянно и ВА ? АВ1 = R2– а2. Докажите, что если точка А лежит вне круга, то ВА ? АВ1 = а2 – R2. (3)
63. Докажите, что центр описанной окружности, точка пересечения медиан и точка пересечения высот лежат на одной
64. Докажите, что в остроугольном треугольнике точка пересечения высот является центром окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются основания высот данного треугольника. (3)
65. Докажите, что для треугольника:
66. Даны две точки А и В. Докажите, что геометрическим местом точек М таких, что AM: ВМ = k (к ? 1), является окружность с центром на прямой АВ (окружность Anолонния). (3)
67. Найдите углы четырёхугольника ABCD (рис. 124). (3)
Рис. 124.
68. В треугольнике ABC отрезок А1B1, соединяющий основания высот АА1 и ВВ1, виден из середины стороны АВ под углом ?. Найдите величину угла С этого треугольника. (3)
69. Стороны треугольника равны а, b, с. В каком отношении делятся биссектрисы треугольника точкой их пересечения? (3)
70. Докажите, что расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей (речь идёт о треугольнике) равно
(формула Эйлера). (3)
71. Докажите, что в любом треугольнике основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности радиуса R/2 (окружность девяти точек). Где находится центр данной окружности? Какое свойство есть у этой окружности? (3)
72. Докажите, что если прямая, не проходящая через вершины треугольника ABC, пересекает его стороны (прямые, содержащие стороны) АВ, ВС, СА соответственно в точках A1, B1 С1 то середины отрезков АА1, ВВ1, СС1 лежат на одной прямой (теорема Гаусса). (3)
73. Докажите, что если прямые АА1, ВВ1, СС1, соединяющие вершины треугольников ABC и A1B1C1, пересекаются в одной точке S или параллельны, то точки пересечения прямых АВ и А1В1, ВС и В1С1, АС и A1C1 (если они существуют) лежат на одной прямой (теорема Дезарга). Докажите обратную теорему. (3)
74. Докажите, что касательные в вершинах неравнобедренного треугольника к описанной около него окружности пересекают прямые, содержащие противоположные стороны этого треугольника, в трёх точках, лежащих на одной прямой (теорема Паскаля). (3)
75. Докажите теорему косинусов для четырёхугольника. (3)
76. Докажите, что для любого треугольника R ? 2r, причём равенство возможно только для равностороннего треугольника. (3)
77. Выведите координатные формулы движений плоскости. (3)
I. Для параллельного переноса:
х' = х + а
y' = у + b.
II. Для центральной симметрии:
x' = 2x0 – x
y' = 2y0 – y.
III. Для поворота:
х' = х ? cos? – у sin?
y' = х ? sin? + у ? cos?.
IV. Для осевой симметрии (уравнение прямой ах + by + с = 0):
78.
79. Выведите координатные формулы инверсии:
Глава 2
Практикум по решению задач
§ 1. Использование формул планиметрии и тригонометрии
Решение наибольшего числа задач по планиметрии предполагает знание формул планиметрии и тригонометрии. Это прежде всего задачи на решение треугольников, нахождение различных линейных элементов в геометрических фигурах (длин медиан, биссектрис, радиусов окружностей и т. д.), определение углов.
1.1. Задачи на треугольник
При решении вычислительных задач на треугольник нужно знать следующие формулы (рис. 125):
Рис. 125.
где a, b, с – стороны треугольника;
?, ?, ? – противолежащие им углы;
r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей;
ha, ma, la – высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне а;
S – площадь треугольника;
– полупериметр треугольника.
Иногда применяют формулу
а также формулу расстояния между центрами описанной и вписанной окружностей:
1. Определите вид треугольника (остроугольный, тупоугольный или прямоугольный) со сторонами 8, 6 и 11 см (рис. 126). (1)
Рис. 126.
Решение. Обозначим больший угол треугольника через ?. Очевидно, что он лежит напротив стороны в 11 см, так как в треугольнике больший угол лежит против большей стороны. По теореме косинусов 112= 82+ 62– 2?8?6?cos ?;
cos ? = -7/32 < 0, значит, угол ? – тупой.
Можно было рассуждать и по-другому. Если бы угол ? был равен 90°, то большая сторона по теореме Пифагора равнялась бы
Удлинение стороны на 1 см автоматически увеличивает и лежащий напротив угол – он становится тупым.