Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Павлов Андрей Николаевич

Рис. 74.

?ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1B1, АC = А1C1, BC = B1C1.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 75).

Рис. 75.

?ABC = ?A1B1C1 т. к. ?А = ?А1 = 90°; BC = B1C1; AB = A1B1.

Если гипотенуза и острый

угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 76).

Рис. 76.

?АВС = ?А1В1С1, т. к. АВ = А1В1, ?А = ?A1 a ?С = ?С1 = 90°.

Свойство медианы равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой (рис. 77).

Рис. 77.

(АВ = ВС, АМ = МС) ? (?АВМ = ?МВС, ?АМВ = ?ВМС = 90°).

Свойство средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине (рис. 78).

Рис. 78.

EF||AC, EF = 1/2АС, т. к. АЕ = ЕВ и BF = FC.

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 79).

Рис. 79.

Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними (рис. 80).

Рис. 80.

а2= b2+ с2– 2bc cos ?.

Теорема Пифагора (частный случай теоремы косинусов).

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (рис. 81).

Рис. 81.

с2= а2+ b2.

4. Пропорциональность и подобие на плоскости

Теорема Фалеса.

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (рис. 82).

Рис. 82.

(АВ = BC, AA1||BB1||CC1) ? A1B1 = В1С1, q и р – лучи, образующие угол ?.

а, b, с – прямые, пересекающие стороны угла.

Теорема о пропорциональных отрезках (обобщение теоремы Фалеса).

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (рис. 83).

Рис. 83.

или

Свойство

биссектрисы треугольника.

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую ему сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (рис. 84).

Рис. 84.

Если ? = ?, то

или

Признаки подобия треугольников.

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 85).

Рис. 85.

Треугольники ABC и A1B1C1 – подобные, т. к. ? = ?1 и ? = ?1.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны (рис. 86).

Рис. 86.

Треугольники ABC и A1B1C1 – подобны, т. к.

и ? = ?1.

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 87).

Рис. 87.

Треугольники ABC и A1B1C1 – подобны, т. к

5. Основные геометрические неравенства

Соотношение длин наклонной и перпендикуляра.

Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше (рис. 88):

АА' < АВ < АС; если А'С > А'В, то АС > АВ.

Рис. 88.

Неравенство треугольника.

Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (рис. 89):

АС < АВ + ВС.

Рис. 89.

Связь между величинами сторон и величинами углов в треугольнике.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол (рис. 90).

(BC < AB < AC) ? (?А < ?С < ?В).

Рис. 90.

6. Основные геометрические места точек на плоскости

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от сторон угла, будет биссектриса данного угла (рис. 91).