Головоломки. Выпуск 2
Шрифт:
Попробуйте вычислить, какую площадь могла занимать крепость, если считать, что воловья шкура имеет поверхность 4 кв. м, и принять ширину ремешков, на которые Дидона ее изрезала, равной одному миллиметру.
Решения задач 1-10
1. Оба насчитали одинаковое число прохожих. Действительно, тот, кто стоял у ворот, считал следовавших в обе стороны, зато тому, кто ходил, навстречу попалось вдвое больше людей.
2. Если сын теперь втрое моложе отца, то отец старше его на удвоенный возраст. Но и пять лет назад он был, конечно, старше сына на утроенный нынешний возраст сына. С другой стороны, так как тогда отец был старше сына в 4 раза, то он был старше его на утроенный тогдашний возраст сына. Следовательно, удвоенный нынешний
Итак, сыну теперь 15 лет, отцу 45. Пять лет назад отцу было 40 лет, а сыну 10, т. е. вчетверо меньше.
3. Вторая лодка опоздала потому, что двигалась со скоростью 24 версты в час меньше времени, чем со скоростью 16 верст в час. Действительно, со скоростью 24 версты в час она двигалась 24: 24 = 1 час, а со скоростью 16 верст в час 24: 16 = 11/2 часа. Поэтому на пути туда лодка потеряла времени больше, чем выгадала на обратном.
4. По течению гребец плывет со скоростью полверсты в минуту, против течения – со скоростью 1/12 версты в минуту. В первую скорость включена скорость самого течения, у второй она вычтена. Следовательно,
(1/2 + 1/12): 2,
т. е. 7/12: 2 = 7/24 версты в час – это собственная скорость гребца.
И значит, в стоячей воде гребец преодолеет 10 верст за
10: 7/24 = 342/7 минуты.
Обычный ответ: в озере гребец проплывет 10 верст за то же время, что и в реке, так как потеря скорости будто бы восполняется выигрышем ее – совершенно не верен (см. предыдущую задачу).
5. Плывя по течению, пароход делает 1 версту в 3 мин; плывя против течения -1 версту в 4 мин. На каждой версте пароход в первом случае выгадывает 1 мин. А так как на всем расстоянии он выгадывает во времени 5 ч, или 300 мин, то, следовательно, от Энска до Иксграда 300 верст.
Действительно,
300: 15 – 300: 20 = 20 – 15 = 5.
6. Для удобства перенумеруем яйца:
крутое № 1……………K1
крутое № 2……………К2
всмятку № 1………….С1
всмятку № 2…………..С2
всмятку № 3…………..СЗ
Из этих яиц можно составить следующие 10 пар:
Мы видим, что только одна пара – первая – состоит из крутых яиц, остальные 9 не дают требуемого сочетания. Значит, у вас только 1 шанс из 10 взять пару крутых яиц; в остальных 9 случаях из 10 вы проигрываете. И если вы ставите 1 руб., то ваш партнер, имеющий 9 шансов из 10 выиграть, должен для уравнения шансов поставить не 5, а 9 рублей.
7. При четырех бросаниях число всевозможных положений игральной кости равно 6 x 6 x 6 x 6 = 1296. Допустим, что при первом бросании выпало единичное очко. Тогда при трех следующих бросаниях число всевозможных положений кубика, благоприятных для Петра (т. е. число выпаданий любых очков, кроме единичного), равнялось 5 x 5 x 5 = 125. Для Петра также возможно 125 благоприятных расположений, если единичное очко выпадает только при втором, только при третьем или только при четвертом бросании. Итак, существует 125 + 125 + 125 + 125 = 500 различных возможностей того, что единичное очко при четырех бросаниях появится один и только один раз. Неблагоприятных же возможностей имеется 1296 – 500 = 796 (так как таковыми являются все остальные случаи).
Мы видим, что у Владимира шансов выиграть больше (796 против 500), чем у Петра.
8. Нетрудно сообразить, что все семь друзей могли одновременно встречаться у хозяина через такое число дней, которое делится и на 2, и
9. Каждый из восьми присутствующих (хозяин и 7 его друзей) чокается с 7-ю остальными; всего сочетаний по два имеется 8 x 7 = 56. Но каждая пара учитывалась дважды (например, пары 3-й гость с 5-м и 5-й с 3-м рассматривались как разные). Следовательно, бокалы звучали 56: 2 = 28 раз.
10. Если площадь воловьей шкуры 4 кв. м или 4 000 000 кв. мм, а ширина ремня 1 мм, то общая длина вырезанного ремня (если Дидона вырезала его из шкуры по спирали) -4 000 000 миллиметров, т. е. 4000 м, или 4 км. Таким ремнем можно окружить квадратный участок площадью 1 кв. км.
Задачи из «путешествия Гулливера»
Самые удивительные страницы в «Путешествии Гулливера по многим отдаленным странам» Джонатана Свифта, без сомнения, те, где описаны его необычайные приключения в двух странах: крошечных лилипутов и великанов «бробдиньягов». В стране лилипутов размеры – высота, ширина и толщина всех людей, животных, растений и вещей были в 12 раз меньше, чем у нас. В стране великанов наоборот, в 12 раз больше. Почему Свифт избрал именно число 12, легко понять, если вспомнить, что это как раз отношение фута к дюйму (автор «Путешествий» – англичанин). В 12 раз меньше, в 12 раз больше как будто не очень значительное уменьшение или увеличение. Однако природа и жизнь в этих фантастических странах поразительным образом отличалась от того, к чему мы привыкли. Зачастую различие это настолько озадачивает своей неожиданностью, что дает материал для головоломной задачи. Десяток подобных головоломок мы и хотим здесь предложить читателям.
1. Гулливер на довольствии у лилипутов
Лилипуты, читаем мы в «Путешествии», установили для Гулливера следующую норму отпуска продуктов:
«Ему будет ежедневно выдаваться столько съестных припасов и напитков, сколько достаточно для прокормления 1724 подданных страны лилипутов».
«Триста поваров, – рассказывает Гулливер в другом месте, – готовили для меня кушанье. Вокруг моего дома были поставлены шалаши, где происходила стряпня и жили повара со своими семьями. Когда наступал час обеда, я брал в руки 20 человек прислуги и ставил их на стол, а человек 100 прислуживало с пола: одни подавали кушанье, остальные приносили бочонки с вином и другими напитками на шестах, перекинутых с плеча на плечо. Стоявшие наверху по мере надобности поднимали все это на стол при помощи веревок и блоков».
Не объясните ли вы, из какого расчета получили лилипуты такой огромный паек? И зачем понадобился столь многочисленный штат прислуги для кормления одного человека? Ведь он всего лишь в дюжину раз выше ростом лилипутов? Соразмерны ли подобный паек и аппетит, если принять во внимание соотношение размеров Гулливера и лилипутов?
2. Бочка и ведро лилипутов
«Наевшись, – рассказывает далее Гулливер о своем пребывании в стране лилипутов, – я показал знаками, что мне хочется пить. Лилипуты с большой ловкостью подняли на веревках до уровня моего тела бочку вина самого большого размера, подкатили ее к моей руке и выбили крышку. Я выпил все одним духом. Мне подкатили другую бочку. Я осушил ее залпом, как и первую, и попросил еще, но больше у них не было» (рис. 1).
Рис. 1. Бочки лилипутов
В другом месте Гулливер говорит о ведрах лилипутов, что они были «не больше нашего большого наперстка».
Могли ли быть в стране, где все предметы меньше нормальных только в 12 раз, такие крошечные бочки и ведра?
3. Животные страны лилипутов
«Пятьсот самых больших лошадей было прислано, чтобы отвезти меня в столицу», – рассказывает Гулливер о стране лилипутов.
Не кажется ли вам, что 500 лошадей чересчур много для этой цели, даже принимая во внимание соотношение размеров Гулливера и лилипутских лошадей?
О коровах, быках и овцах лилипутов Гулливер рассказывает не менее удивительную вещь: уезжая, он попросту «посадил их в свой карман».
Возможно ли это?