Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор
Шрифт:
4. Решение уравнений Эйнштейна
Но если есть уравнения, значит их нужно решать. То есть при ограничениях и условиях каждой конкретной задачи или модели нужно найти метрические коэффициенты в каждой точке пространства-времени и тем самым определить его геометрические свойства. Также необходимо найти, как в этом пространстве-времени распределена, движется и взаимодействует материя. Система гравитационных и материальных уравнений решается одновременно. Если можно так сказать, материя, искривляя пространство-время, распространяется в этом уже искривленном собой пространстве-времени. То есть процесс «сцепленный». Именно поэтому изначально система гравитационных и материальных уравнений строилась как совместная. Однако чтобы система
Уравнения Эйнштейна носят локальный характер, как и многие другие уравнения физики. Это значит, что величины, которые в них входят, относятся по отдельности к каждой точке пространства-времени (или его части), где модель определена или задача рассматривается. В этой связи рассуждения, которые привели к уравнениям, требуют дальнейшего пояснения. Может показаться, что если в некоторой точке (и ее окрестности) нет материи, то в этой окрестности нет и кривизны. Это, конечно, неправильный вывод. Связь материи и искривленности пространства-времени была использована, чтобы построить непротиворечивую (совместную) систему уравнений. После того как уравнения представлены, решать их можно (и нужно) и с нулевой правой частью тоже, то есть в отсутствие материи вообще. Эти решения называют вакуумными. Действительно, гравитирующее тело должно «продавливать» пространство-время не только в той части, где оно находится, но и на достаточном удалении, где никакой материи нет, то есть в вакууме. В противном случае просто не будет гравитационного взаимодействия. По этому поводу полезно привести аналогию с упругой плоской линейкой: ее нельзя изогнуть только в одном месте, поскольку это будет означать, что она просто сломана. Так и здесь, если бы материя никак не прогибала окружающий вакуум, то на границе всегда возникали бы разрывы в описании различных физических величин, чего не наблюдается.
Уравнения в вакууме нужно решать, чтобы узнать насколько этот вакуум «продавлен» соседней материей. Наконец, некоторые решения вакуумных уравнений представляют такие важные решения, как гравитационные волны, которые представляют собой свободное (без всякой материи) распространение метрических возмущений, о чем говорится в главе о гравитационных волнах.
Как только уравнения были получены, Эйнштейн стал искать их важные решения, в том числе и космологические. В то время считалось, что Вселенная статична. А статическое космологическое решение никак не получалось – как выяснилось, оно просто не существует. Чтобы спасти статическое решение, Эйнштейн немного изменил уравнения. Это оказалось возможным без нарушения закона сохранения для левой части. К тензору Эйнштейна можно добавить член с так называемой космологической постоянной – . Уравнения Эйнштейна в 1917 году приобрели вид:
Gab + gab = Tab.
Это не помогло – статическое космологическое решение этих уравнений существует, но это решение неустойчиво, следовательно, не может быть моделью реального мира. Тем не менее, понятие космологической постоянной оказалось востребованным, особенно в последнее время.
5. Координаты Леметра
В этом дополнении мы обсуждаем координаты для черной дыры Шварцшильда, свободные от дефектов на горизонте. Их предложил Леметр, как систему отсчета, сопутствующую свободно падающим наблюдателям. Смысл ее в том, что в каждую точку пространства помещается наблюдатель. Наблюдатели никак не взаимодействуют между собой, они лишь свободно падают к центру, формально представляя собой точки. Каждому наблюдателю приписываются три пространственных координаты, которые вместе образуют пространственные координаты всего пространства-времени. А собственное время каждого наблюдателя вместе определяет координатное время новой системы отсчета. Форма решения сохраняет сферическую симметрию, поэтому можно сказать, что Леметр сделал переход от шварцшильдовых координат t и r
Рис. Д1. Пространство-время геометрии Шварцшильда в сопутствующих координатах Леметра
Мы не приводим форму решения Леметра, а вот диаграмма на рис. 8.2 в его координатах принимает форму, представленную на рис. Д1. Обсудим ее. Наклонные на рис. Д1 соответствуют вертикальным линиям постоянных значений координаты r на рисунке 8.2, включая линии горизонта r = rg и сингулярности r = 0. Вертикальные на рис. Д1 – мировые линии сопутствующих наблюдателей. Как видно, они без помех пересекают горизонт.
Проследим за формой световых конусов на рис. Д1. Вне горизонта наклон «лепестков» превосходит 45o, на горизонте он равен 45o, а под горизонтом становится все меньше: конусы сужаются при приближении к «центру». Поскольку распространение лучей света происходит как раз по направлению конусов, а материальных частиц – по мировым линиям внутри конусов, то ясно, что вне горизонта r = rg возможно движение с удалением от горизонта во внешнюю область. По достижении горизонта такое движение невозможно. Под горизонтом становится неизбежным движение к «центру».
6. Система отсчета ускоренных наблюдателей
После того как определены понятия пространства Минковского в главе 5, собственного времени в главе 7 и горизонта событий в главе 8, интересно обсудить пространство-время ускоренных наблюдателей. Пусть один из таких наблюдателей движется прямолинейно вдоль оси x в пространстве Минковского с постоянным ускорением c2/X в направлении x. Пусть таких наблюдателей много и их ускорения меняются от бесконечности до нуля, что соответствует изменению X от 0 до .
На рис. Д2 на диаграмме пространства Минковского в лоренцевых координатах x и t изображены мировые линии таких ускоренных наблюдателей: каждому наблюдателю соответствует свое значение X. Чем больше ускорение наблюдателя, тем его мировая линия ближе к началу координат. Ускорение каждого из них направлено в сторону увеличения x. Поэтому изначально двигаясь к началу координат, они снижают скорость до нуля при t = 0, а затем движутся в обратном направлении.
Рис. Д2. Мировые линии ускоренных наблюдателей
Поскольку скорости этих наблюдателей не могут превысить световые, то их мировые линии ограничены световыми конусами: A—0 и 0A+, они вместе образуют так называемый «угол Риндлера». Кроме того, угол Риндлера – это предельная мировая линия наблюдателя, ускорение которого стремится к бесконечности. Эти конусы имеют смысл горизонта событий. Конус A—0 является горизонтом событий прошлого – ускоренные наблюдатели никак не могут повлиять на события за этим горизонтом. Конус 0A+ является горизонтом событий будущего, поскольку ускоренным наблюдателям недоступны для наблюдения события за этим горизонтом. Этот горизонт аналогичен горизонту шварцшильдовой черной дыры, в чем легко убедиться, сравнив рис. Д2 с диаграммой в координатах Леметра на рис. Д1.