Характер физических законов
Шрифт:
Вы, возможно, возразите: «Ладно, если нет объяснения законам, то по крайней мере скажите, в чем эти законы состоят. Почему вы не скажете этого словами вместо символов? Математика – просто язык, но ведь можно переводить с одного языка на другой». Да, можно, если иметь терпение, и, мне кажется, частично я это сделал. Я мог бы пойти немного дальше и объяснить смысл уравнения более подробно, например, сказать, что при увеличении расстояния в два раза сила убывает вчетверо и т. д. Я мог бы передать все символы словами. Иначе говоря, я мог бы пойти навстречу любителям физики, которые сидят и с надеждой ждут от меня простого объяснения. Что касается умения объяснить эти сложные и запутанные предметы неспециалисту на доступном ему языке, то у разных людей – разные возможности. И вот неспециалист перебирает книгу за книгой в надежде обойти трудности, которые появляются рано или поздно даже в работах лучших популяризаторов. Но чем дальше он
Я в этом сомневаюсь, потому что математика – не просто другой язык. Математика – это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика – орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно утверждение с другим. Например, я могу сказать, что сила направлена к Солнцу. Но я могу сказать и по-другому (как в прошлой лекции): планета движется так, что если провести от Солнца к планете линию, затем другую линию, отделенную от первой определенным периодом, например тремя неделями, то площадь, которую опишет планета за эти три недели, равна площади, которую она опишет за следующие три недели, и за следующие три недели, и так далее по всей орбите. Я могу объяснить оба эти утверждения подробнее, но не могу объяснить, почему они означают одно и то же. Очевидные сложности природы с ее странными законами и правилами, каждое из которых можно объяснить очень подробно, на самом деле тесно связаны. Однако если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить от одного к другому.
Как ни удивительно, но я могу доказать, что если силы направлены к Солнцу, то в равные промежутки времени описываются равные площади. Я попытаюсь доказать, что эти два закона эквивалентны, и тогда вам станут ясными не только формулировки этих двух утверждений. Вы убедитесь, что эти два закона связаны, что путем размышления можно перейти от одного к другому и что математика – это организованные рассуждения. Тогда вы оцените красоту взаимоотношений между этими двумя законами. Итак, докажем, что если сила направлена к Солнцу, то за равное время описываются равные площади.
Рассмотрим Солнце и планету (рис. 13) и вообразим себе, что в определенный момент времени планета находится в положении 1. Она движется так, что через секунду, скажем, очутится в положении 2. Если бы Солнце не действовало на планету, то, согласно галилееву принципу инерции, планета продолжала бы двигаться по прямой. Тогда по истечении такого же промежутка времени, следующей секунды, двигаясь по прямой линии и пройдя такое же расстояние, планета очутилась бы в положении 3. Сначала мы докажем, что в равные промежутки времени описываются равные площади, если силы нет. Напомню, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, а высота – это расстояние по вертикали от вершины до основания треугольника. Если треугольник тупоугольный (рис. 14), то высота – AD, а основание – ВС. Теперь сравним площади, которые описывались бы при движении планеты, если бы Солнце на нее не действовало (рис. 13).
Вы помните, что два расстояния 1–2 и 2–3 равны. Вопрос в том, равны ли две площади. Рассмотрим треугольник, образованный Солнцем (S) и двумя точками 1 и 2. Какова его площадь? Она равна основанию 1–2, умноженному на половину перпендикуляра, опущенного на основание из точки S. Теперь – другой треугольник, образованный точками 2, 3 и S. Его площадь равна основанию 2–3, умноженному на половину перпендикуляра, опущенного из точки S. У этих двух треугольников одна и та же высота и, как я уже сказал, равные основания. Поэтому они имеют одинаковую площадь. Пока все идет прекрасно. Если бы со стороны Солнца не действовало никаких сил, то за равные промежутки времени описывались бы равные площади. Но Солнце действует на планету. На отрезке 1–2–3 Солнце притягивает планету, причем направление силы притяжения постепенно меняется. Чтобы получить хорошее приближение, возьмем среднее положение 2
Это означает, что тело двигалось по линии 1–2 и продолжало бы двигаться по ней, если бы не было силы, но притяжение Солнца заставляет тело двигаться по линии 2–S. Таким образом, движение тела на следующем отрезке складывается из того, как планета двигалась бы самостоятельно, и изменения, которое произошло под действием Солнца. Поэтому планета попадает не в положение 3, а в положение 4. Теперь мы сравним площади треугольников 23S и 24S и докажем, что они равны. У них общее основание S–2. Одинаковы ли у них высоты? Да, потому что треугольники заключены между параллельными линиями. Расстояние от точки 4 до линии S–2 равно расстоянию от точки 3 до линии S–2 (продолженной). Значит, площадь у треугольника S24 такая же, как у S23. Раньше я доказал, что треугольники S12 и S23 равны по площади. Отсюда ясно, что S12 = S24. Таким образом, при движении планеты по орбите площади, описываемые за первую и за вторую секунду, равны. Значит, путем рассуждений мы нашли связь между тем фактом, что сила направлена к Солнцу, и тем фактом, что площади равны. Не правда ли, остроумно? Я позаимствовал вывод прямо у Ньютона. Все это содержится в его «Principia»: и схема, и доказательство. Только цифры другие, потому что он пользовался римскими цифрами, а я – арабскими.
Все доказательства в книге Ньютона были геометрическими. Сегодня мы строим доказательства по-другому. Мы доказываем аналитически, при помощи символов. Чтобы построить нужные треугольники, подметить равенство площадей, требуется изобретательность. Теперь мы имеем усовершенствованные методы анализа, более быстрые и эффективные. Я хочу показать вам, как это выглядит в обозначениях более современной математики, где для доказательства нужно лишь записать несколько символов.
Мы будем говорить о быстроте изменения площади и обозначим эту величину через А' («А с точкой»). При повороте радиуса площадь изменяется, и быстрота ее изменения – это составляющая скорости, перпендикулярная радиусу, умноженная на радиус. Иначе говоря, это расстояние по радиусу, умноженное на скорость, т. е. на быстроту изменения расстояния:
Спросим себя: изменяется ли сама скорость изменения площади? Закон Кеплера говорит, что скорость изменения площади не должна меняться. Поэтому мы дифференцируем написанное равенство, а тут весь фокус в том, чтобы поставить точки в нужных местах – и ничего больше. Таким фокусам надо научиться: это просто набор правил, которые были придуманы, чтобы облегчить доказательства. Мы пишем
Первое слагаемое – это составляющая скорости, перпендикулярная самой скорости. Оно равно нулю – скорость направлена вдоль самой себя. Ускорение r'' – это вторая производная r, т. е. производная скорости. Она равна силе, деленной на массу.
Это означает, что скорость изменения скорости изменения площади есть составляющая силы, направленная под прямым углом к радиусу. Но если сила направлена по радиусу,
как утверждал Ньютон, то под прямым углом к радиусу она не действует, а значит, скорость изменения площади не изменяется:
Мы видим, как много нам дает анализ при помощи символов. Ньютон более или менее умел это делать, только в несколько других обозначениях. Но он предпочел геометрические доказательства, стремясь к тому, чтобы люди могли прочесть его статьи. Он сам изобрел исчисление бесконечно малых, которым я воспользовался во втором доказательстве.