Искатели необычайных автографов или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков

Левшин Владимир Артурович

— Что касается общего числа комбинаций, то это и я могу, — говорит Фило. — Надо вычислить число сочетаний из четырнадцати рыбок по восьми. А это… Мате, где ваш блокнот? Это можно записать так: C₁₄⁸равно…

— Постойте, — не соглашается Мате, — зачем вычислять из 14 по 8? Не лучше ли воспользоваться известной формулой, где C_n^m = C _n^n-m, то есть C₁₄⁸ = C₁₄⁶?

— В самом деле! Как это я забыл? Но вот вопрос: каким образом это С из четырнадцати по шести вычислить?

— Да

так, как это делал Ферма, когда вычислял число сочетаний из восьми по три. Вспомните: он выписывал первые восемь натуральных чисел и отделял в этом ряду слева и справа по три числа — 1, 2, 3 и 8, 7, 6. Затем он составлял дробь, где в числителе стоит произведение правой тройки чисел, а в знаменателе — левой…

— Не продолжайте, — перебивает Фило, — я уже все понял. Выписываем натуральный ряд чисел от 1 по 14, отделяем шесть чисел слева и столько же справа и составляем дробь: 14 х 13 х 12 х 11 х 10 х 9/1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6, что после сокращения дает 77 х 39. Итак, C₁₄⁸ = C₁₄⁶ = 77 х 39. Да, но как же мы вычислим число благоприятных случаев? — Фило мрачно взирает на блокнот. — Мате, Асмодей, что же вы молчите?

— Рассчитываете на меня, как на запасного игрока? — язвит Мате.

— Не будьте столь непреклонны, мсье! — заступается бес. — Не можем же мы отказать в помощи новичку, который делает первые шаги в научной комбинаторике! Так вот, мсье Фило, если две золотые рыбки уже выловлены, то из двенадцати оставшихся к ним надо добавить шесть любых. Иначе говоря, вычислить число сочетаний из двенадцати по шести, что равно вот чему:

C₁₂⁶= 12 х 11 х 10 х 9 х 8 х 7/1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6 = 77/12.

От избытка признательности Фило посылает ему воздушный поцелуй.

— Благодарю, благодарю и в третий раз благодарю! Но дальше я уж сам, хе-хе… Делим число благоприятных комбинаций на число всех возможных: C₁₂⁶на C₁₄⁸, и искомая вероятность у нас в кармане:

— Как, так мало? — Фило явно разочарован. — Стало быть в вашей сумке, Асмодей, нет ни одной золотой рыбки?

— Но-но-но, мсье! Не забывайте, с кем имеете дело! Тридцать три процента для черта — вероятность громадная!

Он щелкает пальцами, и на столе появляется наполненный водой аквариум. А спустя секунду в нем уже плавают восемь прехорошеньких рыбок. Две золотые, окруженные ресничками плавников, пламенеют среди них, как ненароком сорвавшиеся с неба и все еще не остывшие звездочки. Мате рассматривает их с нескрываемым удовольствием. Уж этот Асмодей! Где ему обойтись без фокусов…

— По-моему, он работает не хуже Акопяна, — восторгается Фило. — Как вы думаете, Мате?

Бес дурашливо раскланивается.

— Мсье, вы мне льстите! Однако программа наша еще не окончена. Оркестр, туш! Ваш выход, мсье Мате! Да, да, не смотрите на меня такими удивленными глазами. Надо же мне познакомиться с вашими собственными числовыми изысканиями!

— Полно, — смущается тот. — После Паскаля, Лейбница и Ньютона…

— Не боги горшки обжигают, мсье, — подбадривает черт. — Думаете, я не знаю, что один из ваших арифметических треугольников пригодился для решения некоего дифференциального уравнения, а другой — для расчета авиационного вала?

— Дела давно минувших дней. Знали бы вы, что я придумал месяц назад! Однажды я заинтересовался изосуммарными числами…

— Чем-чем? — переспрашивает Фило.

Оказывается, Мате изобрел это название сам. Приставка «изо» означает «равные». Следственно, изосуммарные числа — такие, у которых сумма цифр одинакова. Вот, например: 6, 15, 24, 33, 105, 204, 600. Сумма цифр у каждого из этих чисел равна 6. И значит, все они изосуммарные.

Для краткости Мате назвал сумму цифр индексом. И вот ему захотелось узнать, сколько имеется изосуммарных чисел с разными индексами, то есть равными единице, двойке, тройке и так далее. Сперва он стал их разыскивать среди однозначных чисел, затем среди двузначных, трехзначных, четырехзначных… А из найденных построил таблицу. Без таблицы, сами понимаете, в таком деле не обойтись.

— Перед вами таблица распределения изосуммарных

чисел, — продолжает Мате, раскрывая блокнот. — Здесь буква «k» — значность чисел. Она у меня помещается в левом столбце. Буква «i» — индекс числа. Индексы я отложил на верхней горизонтали. Как видите, индекс не превышает девяти, в то время как значность может быть любая, до бесконечности.

k\i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	3	4	5	6	7	8	9
3	1	3	6	10	15	21	28	36	45
4	1	4	10	20	35	56	84	120	165
5	1	5	15	35	70	126	210	330	495
6	1	6	21	56	126	252	462	792	1287
7	1	7	28	84	210	462	924	1716	3003
8	1	8	36	120	330	792	1716	3432	6435
9	1	9	45	165	495	1287	3003	6435	12870
10	1	10	55	220	715	2002	5005	11440	24310

— А почему индекс, то есть сумма цифр, тоже не может возрастать до бесконечности? — сейчас же прилипает Фило.

— Все в свое время! Итак, вы видите, что количество изосуммарных чисел с индексом 1 всегда равно единице для любой значности.

— Стойте, — перебивает Фило. — Ваша таблица — это же числа треугольника Паскаля!

— Молодец, что заметили. У меня и в самом деле получился треугольник Паскаля, хотя и в форме прямоугольника, то есть в том виде, как его изображал Тарталья.

— Значит, — размышляет Фило, — по этой таблице можно заранее узнать, сколько существует, скажем, четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна, допустим, пяти.

— Конечно. Надо только найти в ней число, стоящее в четвертой строке и в пятом столбце. Это — 35. Само собой, число это всегда можно выразить через формулу сочетаний.

— Каким образом?

— Подумайте сами. А я хочу сказать о другом. Если вы помните особенности Паскалева треугольника, то легко ответите на такой вопрос: как, НЕ ВЫСЧИТЫВАЯ, сразу определить по таблице, сколько всего изосуммарных чисел с каким-либо индексом (разумеется, не превышающим девяти) есть среди чисел всех значностей, начиная с однозначных и кончая любой заданной?