Искатели необычайных автографов или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков

Левшин Владимир Артурович

— Не увлекайтесь, — сухо остановил его Фило, — нам с вами о кибернетике толковать рано. У нас еще в тринадцатом столетии дел по горло.

— Ваша правда. Я и забыл, что на нашей совести несколько неразобранных задач.

КОФЕ С МАТЕМАТИКОЙ

— Ну-с, с чего же начнем? — спросил Фило, потирая руки.

— Я думаю, с кофе, — неожиданно заявил Мате. — У меня отличная кофеварка, — с гордостью сообщил он. — Обратите внимание: собственная конструкция!

Толстяк

подозрительно оглядел нескладное дымящееся сооружение, от которого тянулся электрический шнур к треснутой фарфоровой розетке. Но кофе, против ожиданий, оказался превосходным, и лакомка Фило дал себе слово обязательно выведать секрет его приготовления.

Тут он обратил внимание на необычной формы пятиугольную чашку, и мысли его сами собой перенеслись к задаче, предложенной магистром Теодором. Некоторое время интерес к кофе боролся в нем с интересом к математике, но потом ему пришло в голову, что пить кофе и решать задачи можно одновременно. Он поделился своим гениальным открытием с Мате, и тот без лишних слов приступил к доказательству.

— Так вот, — сказал Мате, открывая неизбежный блокнот, — требуется вписать в квадрат ABCD равносторонний пятиугольник таким образом, чтобы одним из углов его был угол квадрата. — Он начертил квадрат. — Прежде всего, проведем диагональ квадрата BD. Теперь на глазок впишем в квадрат равносторонний пятиугольник BEgFK так, чтобы диагональ BD была его осью симметрии. Сторону квадрата обозначим буквой а, сторону пятиугольника, естественно, через х, — ведь именно она-то нам и неизвестна. Таким образом, АК = а — х, KF = х, AF = а — FD. Но FD есть гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника FLD, катеты которого равны х/2. Теперь соблаговолите определить, чему равна гипотенуза FD.

Фило довольно бойко отрапортовал, что, согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. А раз так, значит, гипотенуза

— Отлично, — сказал Мате. — Стало быть,

Теперь все стороны треугольника AKF выражены у нас через искомое число х: KF = х, АК = a-x, и, наконец,

Снова обратимся к теореме Пифагора и получим, что KF² = АК² + AF², то есть

— Что-то вроде квадратного уравнения, — сообразил Фило.

— Вот-вот. Надо лишь привести его в приличный вид.

Мате раскрыл скобки и перенес все члены уравнения в левую часть равенства:

— Решив уравнение по обычной формуле, — продолжал он, — получим:

— Э,

нет, — заартачился Фило, — перед большим корнем полагаются два знака: плюс и минус. А вы написали только минус…

— Замечание верное, но ведь мы с вами не отвлеченное квадратное уравнение решаем, а ищем вполне конкретную сторону пятиугольника. А она, если вдуматься, никак не может быть больше стороны квадрата. Так что на сей раз хватит с вас и одного минуса.

— Невелика выгода. Ответ у вас все равно некрасивый: корень на корне и корнем погоняет.

Мате засмеялся. Этот Фило определенно делает успехи! Одной правильности ему уже мало. Что ж, придется предложить ответ поизящнее. Такой, например: если принять, что корень из двух приближенно равен 1,41, то икс — также приближенно — равен 0,65 а.

— Совсем другое дело? — сказал Фило. — Но там, между прочим, были еще две геометрические задачи.

— Благодарю за напоминание. Только теперь ваша очередь решать.

Фило обомлел. Как? От него требуют, чтобы он решал задачу один? Самостоятельно?

— Вот именно, — непреклонно подтвердил Мате. — Единственное, что я могу для вас сделать, это напомнить, в свою очередь, условия задач. Итак, слушайте. Задача вторая. В равносторонний треугольник надо вписать квадрат, одна сторона которого лежит на основании треугольника. Произвести это следует так, чтобы квадрат вместе с образовавшимся над ним малым треугольником составлял равносторонний пятиугольник.

Фило мрачно вздохнул и задумался. Через некоторое время, однако, лицо его прояснилось. Он взял у Мате блокнот, вычертил равносторонний треугольник АВС и вписал в него квадрат DEFg.

— Само собой разумеется, что квадрат пока что приблизительный, так же как и равносторонний пятиугольник DEBFg.

— Ну, ну, — подбадривал Мате, — дальше…

— Дальше обозначим стороны большого треугольника через a, а стороны пятиугольника через х и рассмотрим прямоугольный треугольник AED. Гипотенуза его АЕ = а — х. Катет ED = х, а катет AD = (a — x)/2. Так ведь?

— Клянусь решетом Эратосфена, так!

— Тогда остается применить теорему Пифагора:

АЕ² = ED² + AD².

А уж отсюда получим выражение:

(а — x)² = x² + ((a — x)/2)².

После этого Фило запнулся и посмотрел на Мате так жалобно, что сердце у того не выдержало, и вскоре перед ними красовалось следующее квадратное уравнение:

x² + 6ах — 3a²= 0

Решив его, они определили, что

и откинулись от стола, весьма удовлетворенные своей деятельностью.

— Ну, — ехидно полюбопытствовал Мате, — что же вы не спросите, почему перед корнем вместо двух знаков только один?

Фило гордо подбоченился: стоит ли спрашивать о том, что и так ясно? Ведь сторона квадрата не может быть отрицательной! Стало быть, минус ни при чем.