История эфира
Шрифт:
Бели, с другой стороны, мы используем физические гипотезы, то видим явления только через вуаль предубеждения и обязаны этому слепотой по отношению к фактам и грубостью предположений, что предполагает лишь частичное объяснение реальности.
Мы должны поэтому открыть некоторый метод исследования, который позволяет разуму на каждом этапе не отрываться от ясной физической концепции и не быть в то же время связанным какой-нибудь теорией, из которой концепция заимствована. Благодаря этому, мы не будем отвлекаться от предмета преследованием аналитических тонкостей и не отклонимся от истины, подменяя ее излюбленной гипотезой.
Для того, чтобы выработать физические идеи, не принимал до поры какой-либо конкретной физической теории, мы должны использовать существование физических аналогий. Под физической аналогией я понимаю частичное подобие между законами одной науки и законами
Максвелл использует образ несжимаемой жидкости, заполняющей пространство. Никакой реальной физической модели за этим не стоит, хотя для простоты мы будем употреблять слово «модель», обозначая этот образ. Его жидкость — просто собрание воображаемых свойств, иллюстрирующих теоремы чистой математики. Так, он свободно, не заботясь о возможности конкретной реализации, вводит понятие сопротивления R, которое испытывает элемент жидкости при движении в пространстве, и считает, что R пропорционально скорости перемещения этого элемента и (т. е. R = ku). Его жидкость не имеет инерции, т.е. сила сопротивления среды много больше плотности. В таких условиях жидкость движется, если существует давление р — Максвелл вводит такое давление. Линии тока воображаемой жидкости непрерывны во всем пространстве за исключением отдельных точек — «источников» и «стоков». Поверхности постоянного давления всегда перпендикулярны линиям тока.
Представим себе в изотропной среде точечный источник силы S0, что эквивалентно целому числу S0 некоторых единичных источников. Истекающая жидкость будет двигаться так, как показано на рис. 2.
Если источник действует достаточно долго и распределение жидкости установилось, то в каждый объем в единицу времени втекает ровно столько жидкости, сколько вытекает. При этом, как легко понять, скорость элемента жидкости на расстоянии r от источника будет равна u= S0/4πr2. Представим теперь воображаемую трубку тока жидкости. Она пересекается в каждом месте воображаемой перпендикулярной поверхностью равного давления. Так, на рис. 3 во всех точках поверхности 1 давление равно p1, в точках поверхности 2 — давление p2 и т.д. Представим себе в этой картине единичный кубический объем жидкости, движущийся перпендикулярно к его граням σ1 и σ2 (см. рис. 4). Поскольку сопротивление, испытываемое таким объемом, равно R = ku, то разность давлений на гранях Δp равна —ku. Отсюда следует, что изменение давления на единицу длины вдоль каждой линии тока дается выражением:
Поэтому:
Теперь, вспоминая форму закона Кулона, можно отождествить давление p(r) с потенциалом φ(r), скорость u(r) — с напряженностью электрического поля (или электродвижущей силой — э. д. с.) Е, источник S0 — с электрическим зарядом, коэффициент к естественно связывается с диэлектрической проницаемостью среды ε. При наличии многих источников в разных точках пространства в рамках сформулированной аналогии получится правильное распределение полей и потенциалов. В итоге Максвелл воспроизводит хорошо известные законы электростатики с помощью механической (точнее — гидродинамической) модели, в которой нет никакого дальнодействия.
Вся
где ρ(r) — плотность зарядов, div — стандартная дифференциальная операция, выделяющая из векторного поля E часть, связанную с расходимостью из точки. В статическом случае, когда поле E не зависит от времени, возможна запись E в виде градиента некоторой скалярной функции (потенциала):
E = —grad φ(r). (1)
Все это уже было хорошо известно до Максвелла. Уравнение (А), где вместо поля Е введен потенциал по формуле (1), называется уравнением Пуассона.
Переходя к рассмотрению магнитных явлений и взаимодействия магнитов и токов, Максвелл уже не находит столь простой аналогии. Он становится на путь перевода существующих эмпирических закономерностей на язык дифференциальных уравнений, предполагая, что магнитные величины, в том же смысле, как электрические, как-то могут быть интерпретированы в будущем в терминах гидродинамики новой, магнитной жидкости. Но конкретный образ этой жидкости еще предстоит найти.
В этой работе возникает двойственность, которая будет постоянно прослеживаться дальше. Стремление к механическим аналогиям привязывает Максвелла к своему веку — нельзя же в самом деле писать уравнения для объекта, который явно имеет материальные проявления, в частности, переносит энергию, а с другой стороны, есть «ничто», пустота. В то же время предмет исследования так или иначе не влезает в принятую механическую картину, и Максвеллу приходится следовать логике самих уравнений, оставляя мысль о материальном носителе и признавая неполноту аналогий. Таким образом, то, что он говорил о принципах, на которых должна строиться правильная теория остается (к счастью?) недостижимым идеалом.
Без связи с конкретной моделью Максвелл приходит к дифференциальной формулировке закона индукции Фарадея, но сохраняет надежду, что «при внимательном изучении свойств упругих тел и движения вязких жидкостей» ему удастся найти соответствующий механический образ. Пока же он вводит абстрактный символ A(x,t) — векторный потенциал в современной терминологии — и называет его «электротонической интенсивностью», т.е. мерой «электротонического состояния». Такое гипотетическое состояние вещества было изобретено Фарадеем. Оно проявляется только через свои изменения во времени и пространстве. Сейчас выглядит таинством, как смог Фарадей увидеть эвристическую ценность в таком странном действии — введении ненаблюдаемой характеристики. На первый взгляд не меньшим чудом кажется то, что именно в этом пункте туманным рассуждениям Фарадея Максвелл смог придать однозначную математическую интерпретацию. Максвелл постулирует закон: «Полная электротоническая интенсивность вдоль границы элемента поверхности служит мерой количества магнитной индукции, проходящей через этот элемент или, другими словами, мерой числа силовых линий, пронизывающих данный элемент». В дифференциальной форме (для бесконечно малых элементов поверхности) этот закон записывается в виде:
B = rot A(r,t), (2)
где rot — операция частного дифференцирования по координатам, выделяющая из векторной функции ту ее часть, которая содержит циркуляцию по замкнутому контуру. Величина rot А является вектором, направленным по нормали к площадке (см. рис. 5).
Затем Максвелл постулирует связь напряженности электрического поля с производной по времени от векторного потенциала:
Формулируется это так: «Э.д.с., действующая на элемент проводника, измеряется производной по времени от электротонической интенсивности».
Бели мы исключим вспомогательную величину A, объединяя соотношения (2) и (3), то получим одно из уравнений Максвелла:
которое, собственно, и является математической записью закона индукции Фарадея. Интересно, что в данной работе закон индукции не появляется непосредственно в форме уравнения (В). Максвелл ограничивается лишь соотношениями (2) и (3).