Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

Ясно, что необходимое условие допустимости подобной точки зрения состоит в том, чтобы частоты компонент спектральных линий, порождённых электрическим полем, могли бы быть выражены формулой типа (2). Как мы увидим дальше, это, по-видимому, совместимо с экспериментами Штарка.

Рассмотрим сначала влияние электрического поля на спектр водорода. Чтобы определить влияние поля на энергию атома в различных стационарных состояниях, мы исследуем его влияние на соотношение между энергией и частотой системы. В этом расчёте мы воспользуемся обычной механикой по аналогии с соображениями предыдущего раздела.

Предположим для простоты, что масса ядра бесконечно велика по сравнению с массой электрона. Рассмотрим электрон, первоначально вращающийся по круговой орбите вокруг ядра. Под влиянием внешнего электрического поля орбита деформируется. Если сила действует не совсем перпендикулярно к плоскости орбиты,

то со временем эта деформация может стать значительной, даже если сила, действующая со стороны внешнего электрического поля, очень мала по сравнению с силой притяжения между частицами. В этом случае орбиту в каждый данный момент можно рассматривать как эллипс, в одном из фокусов которого находится ядро. Тогда влияние поля будет заключаться в постепенном изменении направления большой оси, а также и эксцентриситета. При этом изменении длина большой оси останется приблизительно постоянной и равной диаметру первоначальной круговой орбиты. Весьма подробное исследование движения электрона, вероятно, было бы очень сложным. Однако можно весьма просто показать, что задача допускает лишь две стационарные орбиты электрона. Эксцентриситет этих орбит равен единице, а большая ось параллельна направлению внешнего поля; орбиты представляют собой просто отрезки прямых линий, проходящих через ядро параллельно полю, по одному с каждой стороны. Можно также показать, что орбиты, приближающиеся к этим предельным случаям, близки к тому, чтобы стать стационарными.

Если пренебречь членами, пропорциональными квадрату напряжённости внешнего электрического поля, то для рассматриваемых прямолинейных орбит получим

^2

=

e^2

4^2ma^3

1±3E

a^2

e

,

(14)

где — частота колебаний и 2a — амплитуда орбиты, E — напряжённость внешнего электрического поля, а два знака перед вторым членом в скобках соответствуют орбитам, у которых направление большой оси, отсчитываемое от ядра, совпадает с направлением электрического поля или противоположно ему. Для полной энергии системы мы имеем

A

=

C-

e^2

2a

±2aeE

,

(15)

где C — произвольная постоянная. Среднее значение кинетической энергии электрона за время колебания равно

T

=

e^2

2a

1±2E

a^2

e

.

(16)

Оставим пока в стороне обсуждение возможности существования таких орбит и исследуем, какую последовательность стационарных состояний можно ожидать из соотношений (14) и (15). Чтобы определить стационарные состояния, нам хотелось бы, как и в предыдущем разделе, найти связь с обычной электродинамикой в области малых частот. Поступим так, как на стр. 172, и положим для больших n

dA_n

dn

=

h

_n

.

где A_m и _m — энергия и частота в m-м состоянии. С помощью (14) и (15) получаем

dn

da

=

em

ha

1±

5

2

E

a^2

e

.

Это даёт

n

=

2em

h

a

1±

1

2

E

a^2

e

,

или

2a

_n

=

n²h²

2²e²m

1±

E

h⁴n⁴

16⁴e⁵m²

.

(17)

Если подставить выражения для n и a_n в (14), (15) и(16), то получим

_n

=

4²e⁴m

h³n³

1±

E

3h⁴n⁴

16⁴e⁵m²

,

(18)

A

_n

=

C-

2²e⁴m

h²n²

1±

E

3h⁴n⁴

16⁴e⁵m²

,

T

_n

=

2²e⁴m

h²n²

1±

E

3h⁴n⁴

16⁴e⁵m²

.

Нужно

помнить, что эти формулы справедливы лишь для больших n. Поэтому для механической интерпретации расчётов необходимо предположить, что эксцентриситет больших орбит близок к единице. С другой стороны, из формул (17), (18) и (19) следует, что главные термы в выражениях для 2a_n, _n и A_n такие же, как и выведенные в предыдущем разделе непосредственно из формулы Бальмера. Следовательно, если мы предположим, что эти величины при наличии электрического поля могут быть выражены через ряд термов, содержащих Ea^2/e в возрастающих степенях, то сделанный выше вывод можно рассматривать как определение коэффициента второго терма этого ряда и можно ожидать, что эти выражения справедливы для любых значений n. Подтверждением этого заключения можно считать то обстоятельство, что мы получаем такое же простое соотношение (11) между частотой обращения и средним значением кинетической энергии, как это было найдено в отсутствие поля на стр. 173. При наличии электрического поля мы должны поэтому допускать существование двух рядов стационарных состояний атома водорода, в которых энергия задаётся соотношением (19). Чтобы обеспечить непрерывность, необходимую для связи с обычной электродинамикой, мы предположили, что система может переходить в различные состояния только данного ряда. Согласно этому предположению, для частоты излучения, испускаемого при переходе между двумя состояниями, соответствующими n₁ и n₂ получаем

=

1

h

(

A

_n2

–

A

_n1

)

=

2²e⁴m

h³

1

n₁²

–

1

n₂²

x

x

1±E

3h⁴

16⁴e⁵m²

n

₁

²

n

₂

²

.

(21)

Эта формула даёт для каждой линии спектра водорода две компоненты, расположенные симметрично относительно первоначальной линии. Их разность частот колебаний пропорциональна напряжённости электрического поля и равна ¹

=

3

4^2

·

h

em

E

(

n

₁

²

n

₂