Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

Беллюстин Всеволод Константинович

Пятый и послдній способъ сходенъ по своей основной мысли со способомъ Адама Ризе. Въ немъ прибавляется къ разрядамъ уменьшаемаго дополненіе разрядовъ вычитаемаго, при чемъ дополненіе берется то до 10-ти, то до 9-ти: до десяти тогда, когда надъ цифрой уменьшаемаго не стоитъ точки, которая бы показывала, что здсь единица занята, а до 9-ти тогда, когда стоитъ точка. Примръ: 731–264. Чтобы произвести это вычитаніе по пятому способу, прибавляемъ къ одной простой единиц уменьшаемаго 6, т.-е. дополненіе 4-хъ единицъ вычитаемаго до 10-ти; получится 7. Дале беремъ десятки: 3 да 3 составитъ 6, при чемъ вторая тройка представляетъ собой дополненіе 6 десятковъ вычитаемаго до 9-ти, а до 9-ти потому, что надъ десятками уменьшаемаго стоитъ точка, какъ знакъ заниманія. Наконецъ, опредляемъ сотни: 7 да 7-мь 14, 4 беремъ, а 1 скидываемъ. Окончательный отвтъ будетъ 467. Теперь надо объяснить, почему мы такъ длаемъ, и на чемъ основанъ этотъ способъ. Намъ требовалось отнять 264, а мы не только

не стали отнимать, но даже начали прикладывать и приложили всего 7 сотенъ 3 десятка 6 единицъ. На сколько же мы ошиблись, благодаря тому, что вмсто отниманія 264-хъ прибавили 736? Очевидно, на 736+264, т. е. ровно на тысячу.

Эту свою ошибку мы и исправляемъ въ самомъ конц, отчеркивая у отвта тысячу. Если бы намъ данъ былъ примръ 34985322— 12467876, то вычисленіе получилось бы такое: 2+4=6, 2+2=4, 3+1=4, 5+2=7, 8+3=11, изъ этого лвая единица скидывается, 9+6=15, 4+8=12, 9+3=12, вс лвыя единины окидываются. Если нужно дйствіе производить поскоре, то лучше точки ставить не надъ уменьшаемымъ, а надъ вычитаемымъ. И вообще этотъ пятый способъ напоминаетъ собою второй епособъ тмъ, что занимаемую единицу можно считать приложенной къ вычитаемому, а не отнятой отъ уменьшаемаго.

Таблица умноженія

Твердое знаніе таблицы умноженія издавна требовалось отъ учениковъ и считалось совершенно необходимымъ. Составителемъ таблицы называютъ греческаго математика Пиагора или, врне, одного изъ его позднйшихъ учениковъ, новопиагорейца Никомаха (въ I ст. по Р. X.). Начиная съ Никомаха ни одинъ авторъ не забываетъ напоминать, что «преимущественно передъ всмъ слдуетъ хорошо знать таблицу». Авторы старинныхъ русскихъ математнческихъ сборниковъ также помщаютъ таблиду, или «границу умножалную» подъ титуломъ «граница изустная большему счету разумъ подаетъ хотящему въ нея зрти»; они тоже требуютъ заучиванія: «надобе сіи изустныя слова памятовати и въ памяти крпко держати, всегда во устхъ обносити, чтобы во ум незабыты были». Вотъ стихи изъ Магницкаго:

«Аще кто не твердитъ,Таблицы и гордитъНе можетъ познати,Числомъ что множати.И во всей науки,Не свободъ отъ муки.Колико ни учитъТуне ся удручитъ.И въ пользу не будетъ,Аще ю забудетъ».

Въ римскихъ школахъ таблицу заучивали хоромъ на распвъ. Въ нашихъ современныхъ учебникахъ по ариметик таблица умноженія содержитъ въ себ обыкновенно произведенія всхъ однозначныхъ чиселъ, начиная съ 2x2 и кончая 9x9. Въ средніе вка смотрли на это дло иначе; тогда и въ ариметик, и въ другихъ наукахъ давали большой просторъ памяти, а поэтому заучиваніе примняли широко; требованія въ этомъ отношеніи простирались такъ далеко, что ученики обязаны были запоминать произведенія всхъ первыхъ сорока чиселъ на однозначныхъ множителей, слдовательно 360 произведеній, кром того, квадраты всхъ чиселъ, выраженныхъ полными десятками, кончая 90X90, и произведенія всхъ однозначныхъ чиселъ на полные десятки, кончая 9x90. Всего набирается боле 400 произведеній. И такую-то массу должна была поглотить память учащихся! Сколько же труда и сколько времени надо было истратить на это! Вдь учили прямо наизусть, безъ всякихъ разъясненій и въ громадномъ большинств случаевъ безъ всякаго пониманія. Трудно и теперь ребятамъ, когда ихъ заставляютъ заучивать таблицу умноженія, не напрактиковавши ихъ, какъ она составляется; но неизмримо трудне приходилось ученивамъ средневковой школы, въ которой требовали гораздо больше, а давали гораздо меньше. [7]

7

Вельдоманди, итальянскій математикъ (1380–1428), помщаетъ въ своей рукописной ариметйк таблицу умноженія всхъ чиселъ въ предл 22-хъ. По его словамъ, надо было пойти и дальше, да листа не хватаетъ.

Римляне, чтобы облегчить себ перемноженіе чиселъ, содержащихъ много разрядовъ, пользовались длиннйшими таблицами умноженія, въ которыхъ множителями служили вс числа до извстнаго предла. Съ такими таблицами—ихъ, конечно, не заучивали, а только держали всегда записанными подъ рукой—римляне довольно быстро вычисляли сложныя и трудныя произведенія.

Письменно таблица представляется въ различныхъ формахъ. Изъ нихъ самая общеизвстная—Пиагорова таблица; ея мы не помщамъ, она есть въ каждомъ учебник. Но есть еще фигура треугольника.

Французскій математикъ Chuquet (1484 г.) представляетъ таблицу умноженія въ такой форм:

Про

то, какъ составляется обыкновенная таблица умноженія, говорилось подробно въ большинств учебниковъ и объяснялось нсколькими, иногда многими способами. Но пропускался самый главный и простой способъ, когда таблицу составляютъ послдовательнымъ сложеніемъ, или набираніемъ. Вмсто него приводились такіе запутанные и искуственные пріемы, что, дйствительно, гораздо легче было выучить таблицу наизусть, не понимая ея, чмъ запомнить эти пріемы и особенно понять ихъ; они представляли изъ себя не столько ариметическое содержаніе, сколько алгебраическія формулы и помщались, какъ видно, больше для того, чтобы придать курсу серьезную, научную окраску. Между прочимъ, встрчаемъ въ старыхъ ариметикахъ такое правило: «умножь перваго производителя на 10 и вычти отсюда произведеніе того же перваго производителя на дополненіе второго производителя до десяти»; это ясне видно на примр: чтобы составить, напримръ, 4x7, надо 4 умножить на 10, будетъ 40, потомъ 4 на 3, потому что 3 служитъ дополненіемъ 7-ми до 10, будетъ 12, и, наконецъ, изъ 40 вычесть 12, тогда остатокъ 28 и составитъ произведеніе 4 на 7. Какія все это лишнія хлопоты и затрудненія! Они всегда неизбжны, если на дло смотрть не прямо и просто, а съ предвзятой точки зрнія, и въ данномъ случа съ той ошибочной точки зрнія, что будто бы чмъ объясненіе или способъ трудне, тмъ научне. Не можетъ же быть, чтобы авторы учебниковъ, люди довольно искусные въ изобртеніи разныхъ пріемовъ, не замчали среди нихъ самыхъ простыхъ и естественныхъ; но они какъ бы стснялись высказать простое слово.

Педагогика римлянъ и грековъ въ этомъ отношеніи гораздо разумне средневковой, она смотрла на науку практичне и старалась сдлать ее ясной и доступной. Не даромъ римлянамъ принадлежитъ умнье составлять таблицу на пальцахъ, о чемъ сказано выше.

Развитіе нормальнаго пріема умноженія

Намъ, привыкшимъ къ опредленному порядку умноженія, представляется чмъ-то страннымъ, что могутъ существовать еще другіе способы; настолько мы сжились съ своимъ. А между тмъ ихъ очень много, и ни въ какомъ другомъ дйствіи не встрчается такого большого разнообразія, какъ въ умноженіи. Въ старину всякій авторъ выбивался изъ силъ, чтобы дать отъ себя какое-нибудь измненіе или улучшеніе. Мы приведемъ всего 27 способовъ, не ручаясь, конечно, за то, что здсь они вс безъ остатка; весьма возможно, что есть и еще, скрытые въ тайникахъ книгохранилищъ, разбросанные въ многочисленныхъ, главнымъ образомъ, рукописныхъ сборникахъ. Мы начнемъ съ современнаго нормальнаго способа и постепеино перейдемъ къ тмъ, которые боле всего отъ него уклоняются.

1. Авторомъ нашего нормальнаго способа умноженія многозначнаго числа на многозначное слдуетъ считать Адама Ризе, популярнаго нмецкаго педагога (1492–1559). Въ его рукахъ онъ получилъ послднюю отдлку и завершеніе, и теперь онъ считается самымъ удобнымъ. Главное отличіе способа Адама Ризе заключается въ томъ, что разряды всхъ чиселъ и множимаго, и множителя, и произведенія стоятъ одинъ подъ другимъ въ одномъ вертикальномъ столбц; благодаря этому сразу видно, къ какому разряду принадлежитъ извстная цифра, и, слд., сбиться въ этомъ почти нельзя. Между тмъ, разстановка разрядовъ бываетъ самымъ труднымъ мстомъ при умноженіи, въ чемъ вы, читатель, убдитесь, когда просмотрите остальные способы. Среди нихъ есть и боле скорые, но нтъ ни одного такого, который представлялъ бы мене возможности сбиться. Примра на первый способъ мы продлывать не будемъ, такъ какъ всякій самъ суметъ его придумать и ршить. Скажемъ еще разъ: нашъ настоящій нормальный порядокъ умноженія боле всего напоминаетъ вычисленіе по колоннамъ абака, настолько выдержано въ немъ подписываніе однихъ и тхъ же разрядовъ въ вертикальномъ столбц.

2. Первый способъ непосредственно образовался изъ второго, отъ котораго отличается такою особенноетью: мы теперь не пишемъ лишняго нуля у второго неполнаго произведенія, двухъ нулей у третьяго и т. д., потому что ставимъ десятки подъ десятками, сотни подъ сотнями, и не боимся сбиться; но прежде вс эти лишніе нули писались аккуратно: мы теперь ясно видимъ, что нули безполезны, но математики до Адама Ризе не ршались ихъ отбрасывать и считали ихъ по большей части совершенно необходимыми. Этотъ второй способъ имлъ у итальянскихъ математиковъ особое названіе «per castellucio». Примръ:

Для начинающихъ учиться умноженію не худо и теперь приписывать нули къ произведеніямъ множимаго на десятки, сотни и т. д. Тогда дтямъ понятне будетъ, что для умноженія, въ нашемъ случа на 90, необходимо умножить на 9 и считать полученное число за десятки. А потомъ, когда дти поймутъ это и нсколько привыкнутъ, можно нули выпускать и пользоваться чистымъ первымъ способомъ.

3. Третій пріемъ составленъ Петценштейнеромъ, нмецкимъ математикомъ XV вка. Въ немъ множимое и произведеніе пишется по нашему, а множитель выходитъ изъ вертикальныхъ колоннъ и ставится сбоку, справа наискось. Расположеніе такое: