Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

Беллюстин Всеволод Константинович

7

3

—

1

.

Какъ образовалась цифра десятковъ и гд ее лучше всего подписать? На это отвтимъ мы такимъ чертежомъ:

6 7

x

9 3

———

 3

Цифра 3 стоитъ симметрично подъ тми цифрами, отъ которыхъ она получилась. Вотъ дале чертежи для сотенъ, тысячъ и десятковъ тысячъ:

Сотни высчитываются такъ. Он получаются отъ умноженія сотенъ на единицы, единицъ на сотни и десятковъ на десятки, будетъ 4.3 = 12, 7.8 = 56, 6.9 = 54, да отъ умноженія десятковъ осталось 8 сотенъ, всего ихъ составится 130, нуль пишемъ подъ чертой, а 13 тысячъ пока держимъ въ ум. Отыскиваемъ теперь тысячи нашего произведенія: он получаются тогда, когда сотни множатся на десятки

и десятки на сотни, слд. 4x9 = 36, 6x8 = 48, да еще замченныхъ 13, и составится ихъ всего 97. Цифру 7 пишемъ подъ чертой. Легко, наконецъ, опредлить и десятки тысячъ: их будетъ 41.

Такимъ же образомъ можно умножить и всякія многозначныя числа, до пятизначныхъ, шестизначныхъ и выше. Симметрія руководитъ нами во всхъ этихъ примрахъ и не позволяетъ сбиться. Поэтому, если во множимомъ и во множител цифръ не поровну, напр., четырехзначное число берется съ двузначнымъ, то лучше всего приписать пару лишнихъ нулей и получить опять симметричную фигуру:

Индусы были въ восхищеніи отъ этого способа, часто имъ поль-зовались и умли умножать по этому способу очень быстро, за что и прозвали его «молніеноснымъ». Онъ вовсе не труденъ, если только научиться быстро складывать двузначныя числа; что онъ не нуждается въ большомъ письм и даетъ выигрышъ во времени, въ этомъ, конечно, нечего и сомнваться. Какъ было бы хорошо, если бы онъ, почти забытый посл индусовъ и грековъ, получилъ доступъ въ наши школы, распространился въ народ и оправдалъ свое названіе «молніеноснаго».

26. Закончимъ нашу бесду объ умноженіи объясненіемъ послдняго, въ высшей степени оригинальнаго пріема, который незнающаго наблюдателя можетъ даже поразить. Передаютъ, будто одинъ нмецкій школьный учитель показалъ дтямъ это умноженіе, а потомъ при постителяхъ спрашивалъ считать устно и приводилъ въ удивленіе быстротой счета, разумется въ томъ случа, если поститель не зналъ секрета.

Учнтель: «83x87!»

— Ученикъ: «80x90 = 7200 да 3-жды семь 21, всего 7221».

—Учитель: «24x26!»

—Ученикъ: «20x30 = 600, да четырежды шесть 24, всего 624».

— Учитель: «92 x 98!»

—Ученикъ «90 x 100 = 9000, да дважды восемь 16, всего 9016».

Секретъ, какъ видно, заключается въ томъ, что не всякій примръ годится для этого правила, а только такой, гд бы десятки въ обоихъ множителяхъ были одинаковыми, а единицы составляли въ сумм десять; такъ что если взять одинъ множитель, наприм., 41, то парнымъ къ нему множителемъ обязательно долженъ быть 49. Правило для подобныхъ примровъ слдующее: надо десятки помножить на слдующіе десятки (40x50=2000), а единицы просто перемножить (1x9 = 9) и все сложить: 2000 + 9 = 2009. Правило это далъ итальянецъ Тарталья (XVI в.), большой изобртатель разныхъ способовъ, и письменныхъ, и устныхъ.

Объяснимъ послдній примръ: 41x49. Какъ бы мы попросту стали его вычислять? Сперва 40 помножили бы на 40, потомъ 40 на 9, потомъ 1 на 40 и, наконецъ, 1 на 9. Намъ пришлось бы 40 повторить 40 разъ и 9 разъ и еще 1 разъ, потому что 1 x 40 все равно, что 40 x 1; такимъ образомъ 40 надо помножить на 50, да 1 на 9, всего 2009.

Подобные пріемы, дйствительно, даютъ при устномъ счет громадную выгоду и удобство. Смло рекомендуемъ ихъ вниманію любителей ариметики.

Дленіе.

«Dura cosa e la partita»—звучитъ старинная итальянская поговорка, которая значитъ въ русскомъ перевод: «трудная вещь—дленіе». Не даромъ Лука де-Бурго, итальянскій математикъ XVI вка, утшаетъ начинающихъ учиться юношей и говоритъ, что «кто уметъ длить, тому все остальное пустяки, потому что все заключается въ дленіи». И нашъ Магницкій не отстаетъ въ этомъ случа и тоже, кончивши дленіе, вздыхаетъ свободно и назидаетъ своихъ «мудролюбивыхъ отроковъ» стихами:

Первую часть докончившеИ вся въ цлыхъ изучивше,Ихъ въ памяти твердо держимъИ за та вся Бога блажимъ,Что даде намъ безъ напастиЗрти конецъ первой части.

Трудно дленіе нашимъ школьникамъ и въ настоящее время. Но неизмримо, безконечно трудне было оно въ старинныя времена и особенно въ начал среднихъ вковъ. Тогда изъ столкновенія римской

и арабской учености не успло еще выработаться сколько-нибудь сносной системы, да кром того, самъ характеръ преподаванія, котораго держались тогда въ монастырскихъ школахъ, былъ сухъ, безсердеченъ, неприноровленъ къ силамъ дтей и требовалъ отъ нихъ нечеловческаго напряженія. Тотъ, кто оказывался въ состояніи понимать дленіе, признавался чуть не геніемъ и ему давали почетный титулъ «доктора абака», въ род нашего «доктора математики» или «доктора медицины». Нормальнымъ, зауряднымъ дтямъ нечего было и мечтать о такомъ трудномъ, мудреномъ дйствіи, и они скромно ограничивались сложеніемъ и вычитаніемъ, съ придачей таблицы умноженія. Вотъ что значило неумнье преподавать, отсутствіе понятныхъ учебниковъ и усложненность вычисленій. Вотъ откуда пошло вредное поврье, будто для математики надо родиться со спеціальными способностями, и что кто не рожденъ атематикомъ, тотъ не будетъ въ ней успвать, несмотря на свое стараніе и на искусство учителя. Смшно теперь слышать, что средневковые педагоги требовали прирожденныхъ способностей для умноженія и дленія: вдь, въ наше время съ ними удачно справляется всякій мальчикъ въ сельской школ и всякая двочка; но курьезъ сохраняется и въ наши дни, когда съ авторитетнымъ видомъ заявляютъ, что для алгебры и геометріи нужны какія-то особыя исключительно математическія способности. Он, конечно, нужны, но лишь въ такой мр, въ какой и для каждаго учебнаго предмета, и виной неуспха слдуетъ признать, обыкновенно, не отсутствіе способностей, а плохое преподаваніе, особенно вначал, когда разрабатываются элементы, основы предмета, и когда зарождается расположеніе къ нему. Стоитъ только вмсто расположенія и пониманія возбудить отвращеніе и непониманіе, и дло пропало, при томъ пропало боле, чмъ въ какомъ бы то ни было другомъ предмет, потому что въ математик все послдующее вытекаетъ изъ предыдушаго, и если только зародышъ слабъ, то и весь организмъ будетъ хилымъ.

Перейдемъ теперь къ способамъ дленія и разберемъ ихъ по порядку.

1) Объясненіе дленія начнемъ съ нашего способа и прежде всего замтимъ, что имя ему было «золотой» способъ за его удобства и «французскій» за то, что французы предпочитали его боле всего. Первые намеки на него мы можемъ видть у Альхваризми, араба, жившаго въ IX в. по Р. X. Въ боле ясной форм онъ встрчается у индуса Баскары (XII в. по Р. X.). Въ нмецкой литератур можно указать на рукопись, найденную въ мюнхенской библіотек и принадлежащую къ XII вку. Въ ней вычисленія располагаются колоннами, при чемъ вверху колоннъ подписано римскими цифрами ихъ значеніе, такъ что въ сущности здсь идетъ вычисленіе на абак. Примръ: 100000:20023 = 4 и ост. 19908.

Порядокъ дйствія, какъ видимъ, такой: подписавши длителя и его высшій разрядъ, помщаемъ подъ нимъ длимое 100000 и задаемся цифрой частнаго; она не будетъ 5, потому что въ длител кром 20000 есть еще другіе разряды, слд. цифра частнаго будетъ 4; такъ какъ 2x4 = 8, а 10 - 8 = 2, то остатокъ посл высшаго разряда длителя, умноженнаго на частное, составитъ 2; дале множимъ на частное десятки длителя, ихъ всего 2, 2x4=8, но чтобы вычесть 8 дес. изъ 20000, надо сперва 20000 замнить черезъ 19900+100 и тогда легко становится отнять 80 отъ 100, остатокъ будетъ 20; наконецъ, 3x4 =12, вычитаемъ 12 изъ 20, получаемъ 8, а всего посл дленія ииемъ въ остатк 19908. Частное пишется въ самомъ низу. Вообще во всемъ этомъ примр мы наблюдаемъ ходъ дйствія такой же, какъ и у насъ, но въ подробностяхъ много особеннаго: не пишется нулей, потому что мста цифръ достаточно указываются надписями надъ колоннами; не по нашему расположены длимое, длитель и частное; умноженіе идетъ съ высшихъ разрядовъ; вычитаніе производится постепенно, разрядъ за разрядомъ, какъ только они образуются.

2) Слдующій разъ мы встрчаемся съ этимъ способомъ уже въ XV—XVI в. А какъ же вычисляли въ промежутк между XII и XVI вв.? Кстати, какъ вычисляли до XII вка, вдь, очевидно, и тогда было дленіе? Конечно, вычисляли, но только не по нашему пріему, а совсмъ по другому, непохожему, который развивался и удерживался вплоть до XIX вка и въ начал его исчез, о немъ рчь будетъ впереди, теперь же приведемъ образецъ нашего дленія, который встрчается у Луки де-Бурго, итальянца. Раздлить требуется 97535376 на 9876, получится въ частномъ 9876. Расположеніе то же, что и у насъ, только длитель и частное пишется вверху; а не сбоку.