Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

Беллюстин Всеволод Константинович

Честь полнаго введенія десятичныхъ дробей и ихъ толковаго объясненія приписывается Симону Стевину изъ Брюгге (въ Бельгіи), жившему съ 1548 по 1620 г. Заглавіе его сочиненія такое: «La disme ensignant facilement exp'edier par nombres entiers sans rompouz tous comptes se rencontrans aux affaires des hommes». Вмсто запятой, отдляющей цлыя числа отъ долей, это сочиненіе рекомендуетъ ставить нуликъ. заключенный въ скобки. Точно также и у долей былъ при каждомъ разряд значекъ, напр., 34,7605 писалось слдующимъ образомъ: 34 (°) 7 (¹) 6 (²) 0 (³) 5 (⁴). Съ такимъ обозначеніемъ десятичныя дроби входили и въ дйствія. Положимъ, требовалось умножить 0,0426 на 0,28; тогда вычисленіе располагалось такъ:

Сочиненіе

Стевина появилось первоначально въ 1585 г. на фламандскомъ нарчіи, а потомъ уже оно было переведено и на французскій языкъ. Десятыя, сотыя и т. д. доли назывались долями первыми, вторыми и т. д. (primes, secondes). Стевинъ ясно видлъ, что десятичныя дроби были бы особенно полезны въ томъ случа, если бы везд была принята десятичная система мръ; поэтому онъ энергично настаивалъ на введеніи десятичной системы мръ. Впрочемъ, его сочиненіе не сдлалось извстнымъ за предлами отечества, и, напр., въ Германіи заслуга введенія десятичныхъ дробей приписывается Бейеру (1563—1625).

Самъ Бейеръ такимъ образомъ излагаетъ путь, которымъ онъ дошелъ до мысли о десятичныхъ дробяхъ: «въ свободное отъ своей службы (Бейеръ былъ врачомъ) время любилъ я иногда заняться астрономіей и математикой; и я обратилъ вниманіе на то, что техники и ремесленники, когда измряютъ какую-нибудь длину, то очень рдко и лишь въ исключительныхъ случаяхъ выражаютъ ее въ цлыхъ числахъ одного наименованія; обыкновенно имъ приходится или брать мелкія мры, или обращаться къ дробямъ; точно также астрономы измряютъ величины не только въ градусахъ, но и въ доляхъ градусовъ, т. е. въ минутахъ, секундахъ и т. д.; но мн кажется, что ихъ дленіе на 60 частей не такъ удобно, какъ дленіе на 10, на 100 частей, потому что въ послднемъ случа гораздо легче складывать, вычитать и вообще производить ариметическія дйствія; мн кажется, что десятичныя доли, если бы ихъ ввести вмсто шестидесятеричныхъ, пригодились бы не только для астрономіи, но и для всякаго рода вычисленій». Для наглядности Бейеръ длитъ прямую линію на 10 равныхъ частей и называетъ каждый отрзокъ примой, т.-е. первой долей, или долей перваго порядка; и каждая прима длится, въ свою очередь, на 10 равныхъ частей и даетъ 10 секундъ, т.-е. долей второго порядка; изъ секун-ды получается 10 терцій и т. д. Такимъ образомъ ясно видно, что Бейеръ воспользовался для десятичныхъ дробей тми же названіями, какія были въ употребленіи въ шестидесятеричныхъ дробяхъ. Такое же заимствованіе сдлалъ онъ и въ записываніи дробей, потому что, напр., 123, 459872 Бейеръ пишетъ такъ:

т.-е. приводя доли въ трехразрядные классы, или же, наконецъ,

—здсь отмченъ римской цифрой VI только послдній разрядъ. По этой систем 0,000054 пишется такъ:

VI

54.

Для умноженія дается такое правило: поставь надъ послднимъ справа разрядомъ отвта такой значекъ, который равнялся бы сумм значковъ множимаго и множителя, стоящихъ надъ ни ми съ праваго края; вс остальные разряды произведенія опредлятся по этому крайнему разряду. Примръ:

VI

124 385

умножить на

IV

643

; умноживъ 124385 на 643, получимъ въ отвт 79979555. и остается только поставить надъ послдней цифрой справа значекъ X, потому что VІ+IV = Х. Результатъ можно прочитать такъ: 79979555 десятаго порядка (десятыхъ скрупуловъ, по выраженік Бейера). Для дленія дается такое правило: сдлай такъ, чтобы в длимомъ было столько же знаковъ, сколько и въ длител, или даже больше; если въ длимомъ мало знаковъ, то припиши столько нулей, сколько теб нужно, и это не измнитъ величины дроби. Потомъ произведи дленіе, какъ будто бы это были цлыя числа, и у послдняго разряда отвта поставь справа такой значекъ, который бы равнялся разности значковъ длимаго и длителя. Если при дленіи получится остатокъ, и если надо частное найти точне, то можно приписывать къ длимому нуль за нулемъ, сколько угодно разъ, и въ результат получатся разряды, которыхъ номеръ постепенно понижается на единицу. Въ конц своей брошюры Бейеръ говоритъ подробно о томъ, какъ изъ десятичныхъ дробей можно получить шестидесятеричныя, и наоборотъ; также о томъ, какъ примнять десятичныя дроби къ ршенію задачъ.

Скоро и англійскій авторъ I. Неппиръ (Nepper) спшитъ подлиться съ своими читателями свдніями о новыхъ дробяхъ. Въ его книжк (1626 г.) дробь пишется такъ: 28°6’7’’5’’’ и читается такъ: 28 цлыхъ 6 примъ 7 секундъ 5 терцій. Кром того, разряды иногда у него раздляются точками; 27°:0’:5’’ и т. п. Сложеніе и вычитаніе идетъ у него обыкновеннымъ порядкомъ, такъ же, какъ и у насъ; вотъ примръ сложенія;

При умноженіи не считается необходимымъ, чтобы цифры одинаковыхъ разрядовъ стояли другъ подъ другомъ;

надо умножать такъ. какъ будто бы это были все цлыя числа, и потомъ слдуетъ отсчитать съ правой стороны столько разрядовъ, сколько ихъ вмст въ обоихъ производителяхъ; это будутъ скрупулы — десятичныя доли. Примры:

Въ первомъ примр множимое раздроблено въ десятыя доли, множитель въ сотыя, произведеніе поэтому содержитъ 2671 цлую единицу, 6 десятыхъ, 9 сотыхъ и 5 тысячныхъ. Во второмъ примр мы видимъ запятую между цлыми и десятыми. Введеніе ея приписывается извстному астроному Кеплеру (1571—1630).

Правило дленія слдующее: длить надо, какъ цлыя числа, и кром того надо вычесть изъ значка длимаго значекъ длителя, тогда остатокъ опредлитъ собой значекъ частнаго. Примръ: раздлить 5' 7" на 8° 6' 5" 6'". Ршеніе:

Въ ариметик Беклера (1661) десятичныя дроби примняются только къ мрамъ длины, поверхности и объема; поэтому имъ дается названіе геометрическихъ долей. Цлыя отдляются отъ долей запятой или черточкой; кром того, употребляются еще отмтки: для сажени 0, для фута 1, для дюйма 2 и для линіи 3; у послдней доли ставится значекъ, который опредляетъ ея разрядъ, и отдляется этотъ значекъ скобкой. Примръ: 123,6543 (4; это значитъ 123 сажени, 6 футовъ, 5 дюймовъ, 4 линіи и 3 точки. Какъ видно, Беклеръ проэктируетъ ввести десятичную зависимость между мрами, т. е. считать въ сажени 10 футовъ, въ фут 10 дюймовъ и т. д. Сочиненіе англичанина Вингата (1668) еще боле приблизило теорію десятичныхъ дробей къ тому виду, какой она иметъ сейчасъ. Онъ примняетъ дроби къ тригонометріи, къ вычисленію сложныхъ процентовъ и къ дйствіямъ съ именованными числами. Онъ хорошо видитъ всю громадную пользу, которая получилась бы для науки, если бы вс мры были приведены къ десятичной систем, иначе сказать всякая мра содержала бы въ себ ровно 10 слдующихъ низшихъ. Разряды десятичныхъ дробей идутъ, по мннію Вингата, такъ же безпредльно, какъ и разряды цлыхъ чиселъ, такъ что за десятыми долями, сотыми, тысячными идутъ десятитысячныя, стотысячныя, милліонныя и т. д. до безконечности. Знаменателя десятичной дроби вполн возможно не писать, если только условиться отдлять цлое число отъ десятыхъ долей точкой или запятой. Вингатъ пишетъ по нашему 285,82 или 285.82, но у него вмсто 0,5 встрчается .5 и вмсто 0,25 пишется .25, слд., цлыхъ онъ въ этомъ случа не пишетъ. Три первыхъ дйствія онъ проходитъ совершенно аналогично съ нами, а для дленія у него взятъ такой порядокъ: къ длимому можно приписать сколько угодно нулей и по-томъ произвести дйствіе такъ, какъ если бы это были цлыя числа; чтобы опредлить значеніе первой цифры частнаго, по которой уже можно разсчитать и вс остальные разряды, стоитъ только подписать длителя подъ тми же разрядами длимаго, которые были отчеркнуты для перваго дленія; подъ какимъ разрядомъ длимаго находятся единицы длителя, таковъ и будетъ высшій разрядъ частнаго. Примръ: 2,34 : 52,125. Длимъ 23400000 на 52125 и получаемъ 448. Теперь подписываемъ 52,125 подъ 2,34 такъ, чтобы длитель стоялъ подъ тмъ числомъ, которое на него длилось въ первый разъ, именно

2,34000

52,125

и такъ какъ единицы длителя оказались подъ сотыми долями длимаго, то первая цифра частнаго 448, т. е. 4, выражаетъ собой сотыя доли и, слд., результатъ дйствія долженъ быть такой: 0,0448. Иногда нужно бываетъ при этомъ способ приписать съ лвой стороны длимаго нсколько нулей, потому что иначе длитель не можетъ помститься подъ длимымъ. Примръ—0,0758 : 0,000064, тогда для удобства мы напишемъ такъ: 0000,0758 и выведемъ изъ этого, что при дленіи на 0,000064 высшій разрядъ частнаго составитъ тысячи, такъ какъ единицы длителя оказались подъ тысячами длимаго. И дйствительно, если произвести вычисленіе, то получится въ отвт 1184,375.

Если сопоставить вс способы, какими писались десятичныя дроби въ математ. работахъ ХVIII вка, то получится всего пять видоизмненій, и если по нашему пишется 0,784, то у Бейера

III

784

, у Неппира 0°7'8"4'", у Вингата .784, у Беклера 784 (3 и у Валлиса 0<784.

Мы разсмотрли до сихъ поръ, кмъ и какъ было положено начало десятичнымъ дробямъ, и какіе успхи он сдлали въ XVII столтіи. Въ слдующеvъ вк, въ ХVIII-мъ, шестидесятеричныя дроби мало по малу исчезаютъ, и ихъ мсто занимаютъ десятичныя дроби. Напр., въ ариметик нмецкаго педагога Париціуса, въ первомъ изданіи, которое вышло въ 1706 году, разсматриваются дроби шестидесятеричныя, но во второмъ изданіи этой же ариметики он уже замнены десятичными. Впрочемъ Париціусъ, подобно Беклеру, примняетъ десятичныя дроби только къ мрамъ длины. Самое трудное изъ дйствій — дленіе онъ производитъ по такому правилу: надо длить, какъ цлыя числа, а чтобы узнать номеръ разряда частнаго, надо изъ номера длимаго вычесть номеръ длителя. Вотъ примръ. 4269342 (5 : 321 (2 (согласно нашему обозначенію это было бы 42,69342 : 3,21).