Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

Беллюстин Всеволод Константинович

Альхваризми (въ IX в. по Р. X.) даегь слдующій примръ: «найти такое число, что если отнять отъ него 1/3 и 1/4 его, то въ остатк будетъ 8»; положимъ, что число будетъ 12, тогда остатокъ вышелъ бы 5, вмсто 8, т.-е. на 3 меньше; пусть число 24, тогда остатокъ оказался бы больше настоящаго на 2, теперь въ формул ршенія намъ придется сложить 2 произведенія, о которыхъ говорилось выше въ правил, а не вычесть одно изъ другого, и это потому, что въ задач одинъ отвтъ больше настоящаго, а другой меньше его (24.3 +12.2) : (3 + 2) = 19¹/₅. О фальшивомъ правил много говоритъ также Леонардо Фибонначи, итальянскій математикъ 13 ст. Въ русскихъ математическихъ рукописяхъ XVII в. это правило извстно подъ такимъ именемъ: «статья цифирная именуется вымышленая или затйчивая. Высокаго остропамятнаго разума и умнаго прилежаніе ея-же нціи фальшивою строкою нарекоша, иже ни малымъ чмъ погршается».

Сущность фальшиваго правила лучше всего объясняется алгебраически. Возьмемъ одно

уравненіе первой степени съ однимъ неизвстнымъ: ax+b = 0. Примемъ x равнымъ произвольному количеству k₁; подставивъ k₁ вмсто х, пусть мы получимъ во второй части вмсто нуля т₁, такъ что ak₁ + b = n₁ т.-е. ошибка оказалась во второй части на n₁. Дадимъ иксу другое произвольное значеніе k₂, и пусть вторая часть обратится въ n₂, такъ-что ошибка второй части уравненія будетъ n₂. Теперь мы получимъ такую систему:

то образуется слдующее выраженіе для неизвстнаго:

Изъ этой формулы выходитъ: n₁x- n₂x= n₁k₂– n₂k₁, или n₁(x-k₂)=n₂(x-k₁) откуда получается пропорція: n₁: n₂=(х-k₁) : (х-k₂), т. е. ошибки неизвстныхъ пропорціональны ошибкамъ уравненій. Этой пропорціей и устанавливается связь между фальшивымъ правиломъ и способомъ пропорцій.

Фальшивое правило вводилось во вс учебники ариметики до начала 19-го вка и считалось необходимой ихъ частью и однимі изъ самыхъ важныхъ отдловъ. Оно встрчается, между прочимъ, въ ариметик Безу, переведенной на русскій языкъ В. Загорскимъ въ 1806 году. Въ настоящее время это правило совершенно исключено изъ ариметическаго курса, и его нигд найти нельзя. Дв причинь содйствовали его исключенію. Во-первыхъ, выводъ его можетъ быті сдланъ только алгебраически и, слдовательно, въ ариметик онъ не можетъ быть объясненъ ученикамъ и требуетъ отъ нихъ прямого заучиванія; во вторыхъ, никакой учебникъ не разграничивалъ, какія задачи можно ршать фальшивымъ правиломъ, и какихъ нельзя имі ршать; а, между тмъ, это существенно важно, потому что, еслі примнить правило къ тому, къ чему оно непримнимо, то выйдетъ конечно, одно печальное недоразумніе. На самомъ дл это правило можетъ имть силу только для тхъ задачъ, гд вся задача сводится къ умноженіямъ и дленіямъ неизвстнаго.

Прочія правила: смшенiя, двичье и другiя.

Правило смшенія было въ употребленіи, очевидно, очень давно, такъ какъ потребности въ смшеніи лкарствъ и какихъ - нибудь составовъ, а также въ сплавленіи металловъ имли мсто еще въ древнемъ мір. Формулы смшенія были найдены, вроятно, отчасти путемъ опыта, отчасти алгебраическими выкладками; потомъ он были перенесены въ ариметику, запоминались учениками и примнялись къ ршенію задачъ.

Леонардо Фибонначи въ ХIII в. даетъ такіе пріемы, которые надо признать совершенно механическими; и вся забота го направлена только къ тому, чтобы расположить данныя числа какъ слдуетъ; задачи у него раздляются на 2 вида, тхъ самыхъ, какіе сейчасъ и у насъ: въ первомъ вид узнается, какого достоинства выйдегъ смсь, если извстно количество смшиваемыхъ веществъ и ихъ достоинство; въ второмъ вид надо опредлить, сколько слдуетъ взять каждаго вещества, чтобы получить смсь такого достоинства, какое требуетса. У Леонардо встрчаются задачи на смшеніе нсколькихъ сортовъ, и есть примры боле отвлеченнаго характера, въ такомъ род: «Стоимость 30, количество 30, стоимость единицы— 3, 2, 1/2 ршеніе: I:III =1 : 4, II : III = 1 : 2, положимъ на I съ III всего 15 единицъ, изъ нихъ 3 на I, 12 на III; на II съ III кладемъ тоже 15 единицъ, изъ которыхъ 5 на II, и 10 на III; всего тогда получится на I=3, на II=5 и на III =22». Эта задача, какъ видно, неопредленная.

Въ 15—16 вк задачи на смшеніе ршались нсколько иначе, чмъ мы ихъ ршаемъ; он приводились къ тройному правилу, и для каждаго неизвстнаго составлялась отдльная строка, отдльная пропорція.

Въ русскихъ учебникахъ XVII вка правилу смшенія соотвтствовала «статья о нечисти во всякихъ овощахъ и въ товарехъ», въ ней говорилось о смшеніи чистаго товара съ нечистымъ и о сплав золота, серебра и мди. У Магницкаго статья «третья надесять» въ тройномъ правил, подъ заглавіемъ «о соединеніи вещей», начинается прямо съ задачи, безъ всякаго предисловія и объясненія: «Нкій винопродавецъ имяше четыре разныя вины, ихъ

же продаяше разною цною, по 10 алтынъ, по 8 алтынъ, по 6 алтынъ и по 5 алтынъ по 2 денги галенокъ, и хощетъ отъ тхъ разноцнныхъ винъ бочку наліяти въ 80 галенковъ, чтобы галенокъ былъ цною въ 6 алтынъ 4 денги, и вдательно есть, колико галенковъ котораго вина вліяти достоитъ во ону бочку, придетъ 16, 8, 16, 40. Зри како изобртати:

По толику галенковъ таковыхъ разныхъ винъ въ бочк оной вина его же цна по 20 коп. галенокъ»

Понятно, зачмъ Магницкій помщалъ задачи на смшеніе, и зачмъ он были въ старинныхъ ариметикахъ: учебникъ считался тогда сборникомъ всевозможныхъ правилъ, пригодныхъ для разныхъ житейскихъ случаевъ, къ нему, какъ къ какому-нибудь справочнику, и обращались за указаніями и искали практическаго отвта. Теперь же техника и ремёсла, равно какъ и гражданская жизнь, настолько развились и расширились, что нечего и думать сообщить ученику запасъ предписаній на всевозможные житейскіе случаи. Кром того, смшеніе примняется теперь не настолько часто, чтобы считать его употребительнымъ дйствіемъ и пріучать къ нему учениковъ и ученицъ изъ разныхъ классовъ общества и изъ разныхъ состояній. Такимъ образомъ, практическое значеніе правила смшенія можно считать въ настоящее время за нуль, особенно если имть ввиду задачи второго рода. Но и образовательное, развивающее его значеніе тоже очень не велико, потому что т же задачи второго рода, по самой своей сущности, принадлежатъ алгебр, съ большимъ удобствомъ и пониманіемъ ршаются въ ней, въ ариметик же он явдяются какимъ-то оторваннымъ кускомъ и потому не могутъ быть проработаны вполн сознательно. Гораздо лучше было бы и для учениковъ и для науки, если бы задачи второго рода на смшеніе были отнесены къ алгебр.

Двичье правило. Оригинальное и странное названіе, получившееся оттого, что прежде (впрочемъ бываетъ это и теперь) задачи располагались и назывались не по способамъ ихъ ршенія, а по вншнему виду. Къ двичьему правилу относились задачи, въ которыхъ говорилось о двицахъ. Правда, вс он въ cтарыхъ сборникахъ пріурочивались къ одному типу, именно къ отдлу неопредленныхъ задачъ. Типической задачей можеть служить слдующая, заимствованная изъ Адама Ризе, составившаго учебникъ въ XVI ст. «26 персонъ издержали вмст 88 марокъ, при чемъ мужчина издерживалъ по 6 марокъ, женщина по 4 и двушка по 2; сколько было мужчинъ, женщинъ и двушекъ?» Адамъ Ризе учитъ ршать такимъ образомъ: пусть, говоритъ онъ, вс 26 персонъ были бы двушки, тогда он издержали бы 2.26=52 марки, слдовательно, остается 88 — 52 = 36 марокъ. Разложимъ теперь 36 на такія два слагаемыхъ, чтобы одно состояло изъ четверокъ, другое изъ паръ, напримръ, 8 четверокъ и + 2 пары, или 5 четверокъ + 8 паръ, или еще 2 четверки + 14 паръ; такое расположеніе удобно тмъ, что 32 марки въ первомъ случа мы отнесемъ на долю мужчинъ и 4 марки на долю женщинъ и расчислимъ такъ: мужчина тратитъ больше двушки на 4 марки, ихъ можно принять всего 8 человкъ, такъ какъ 32:4 = 8; женщина тратитъ больше двушки на 2 марки, и женщинъ можно полагать 2, потому что 4: 2=2; слдовательно, получается въ отвт 8 мужчинъ, которые заплатятъ вмст 48 марокъ, 2 женщины—8 марокъ и 16 двушекъ 32 марки, всего 88 марокъ. Другой рядъ отвтовъ можно бы получить, съ помощью этого же способа, такой: 5 мужч., 8 женщ. и 13 двушекъ; и много другихъ ршеній, такъ какъ эта задача неопредленная.

Первая неопредленная задача на латинскомъ язык изъ тхъ, которыя дошли до насъ, содержится въ сборник Алькуина (въ VIII ст. по Р. X.) и выражается такъ: «100 шеффелей раздлить между мужчинами, женщинами и дтьми и дать при этомъ мужчин по 3 шеффеля, женщин по 2 и ребенку по 1/2 шефф.» Ршеніемъ этой задачи могло бы быть, напр., 24, 40 и 36; у Алькуина дано 11, 15, 74. Кром названія «двичье», это правило имло иногда титулъ «слпого» правила и опять по той же самой причин, именно, что въ неопредлешшхъ задачахъ этого рода упоминалось о слпцахъ. Кстати скажемъ, что были и другія курьезныя правила, въ род правила «крокодиловъ», правила «роговъ» и т. п., и назывались они по той своей особенности, что въ задачахъ, которыя являлись характеристичными, упоминалось про крокодидовъ, рога и т. д.

Многое множество тхъ задачъ, которыми наполняются современные намъ сборники, идутъ изъ глубокой древности, пережили многія тясячелтія и терпливо переписываются однимъ составителемъ изъ другого.

Напр., извстная задача о бассейнахъ, которые наполняются трубами, и изъ которыхъ вода выливается, пользовалась вниманіем уже во времена Герона Александрійскаго (во 2 в. до Р. X.). Метрдоръ, жившій при Константин Великомъ, даетъ задачу съ 4 трубами изъ которыхъ 1-я можетъ наполнить бассейнъ въ день, 2-я—въ 5 3-я—въ 3 и 4-я—въ 4 дня. Эту же задачу мы видимъ и у индусовъ во времена математика Аріабгатты, въ 5 в. по Р. X. Она же встрчается въ русскихъ старинныхъ ариметикахъ, и она же помщается во всхъ новйшихъ сборникахъ. Точно также задача о собак догоняющей зайца, имется уже въ сборник Алькуина (въ 8 ст. по Р. X.). Заяцъ впереди собаки на 150 футовъ, и онъ пробгает 7 футовъ въ то время, какъ собака 9; для ршенія 150 предлагается раздлить пополамъ.