Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]
Шрифт:
Ршеніе ариметическихъ задачъ всегда было несвободно от разныхъ недочетовъ, которые имютъ мсто и въ наше время и объясняются исторически. Во-первыхъ, даются ученикамъ иногда такія задачи, которыя псрежили самихъ себя и утеряли смыслъ, пс тому что времена измнились; примромъ можетъ служить задача о курьерахъ; теперь уже везд телеграфы, телефоны, сообщенія по желзнымъ дорогамъ, и поэтому нтъ никакой надобности посылать конныхъ курьеровъ, это было 50—100 лтъ тому назадъ, а сейчас это анахронизмъ. Во-вторыхъ, ршеніе задачъ никакъ не можетъ освободиться отъ того элемента механичности, который сжился съ ним въ теченіе многихъ сотенъ лтъ. Прежде всякая школа была главнымъ образомъ школой спеціальной и имла ввиду сообщить ученику навыки и умнья, пригодные ему для извстной отрасли жизненной дятельности. Теперь, наоборотъ, школа проникла въ масс народа, сдлалась общедоступной и должна быть поэтому общеобразовательной, развивающей душевныя силы дтей и воспитывающей.
Съ этой точки
Все вниманіе составителей сборниковъ должно сосредоточиваться на томъ, чтобы расположить работу строго послдовательно и систематично, съ переходомъ отъ простого къ сложному и отъ нагляднаго къ отвлеченному, безъ рзкихъ скачковъ отъ легкаго къ трудному. Если такъ расположить задачи, то ученикъ самъ, своимъ личнымъ мышленіемъ будетъ доходить до ршенія все боле и боле сложныхъ задачъ. Въ такомъ случа учителю не придется на каждомъ шагу наставлять ученика и помогать ему: все дло учителя сосредоточится на подбор матеріала, расположеннаго цлесообразно. Методъ самостоятельнаго вывода—идеальный методъ въ математик, и ему въ ней предстоитъ будущность.
Между тмъ, въ послдніе годы, отчасти подъ вліяніемъ строгихъ экзаменныхъ требованій, вошло въ моду дленіе ариметическихъ задачъ на мелкіе типы. Это вредное увлеченіе. Оно ведетъ къ выучк и встряхиваетъ опять т порядки, которые стали было затягиваться пылью сдой старины [9] . Не дробленіе на типы, главнымъ образомъ по вншнему виду, но строго постепенный подборъ сослужитъ службу при ршеніи задачъ, подводить же подъ типы—дло ученика, и тотъ, кто снимаетъ съ него эту работу мысли, тмъ самымъ лишаетъ его значительной части той пользы, какая происте-каетъ отъ занятій математикой.
9
Изобртеніемъ всевозможныхъ типовъ и многочисленныхъ правилъ отличился еще въ средніе вка германскій педагогь Видманнъ (въ 15 ст.). Съ него пошли эти порядки.
Добавочныя статьи ариметическаго курса.
Если взять десятокъ-другой учебниковъ ариметики, изданныхъ въ послдніе годы на русскомъ язык, то увидимъ, что вс они очень похожи другъ на друга. Если просмотрть учебники на раз-ыхъ языкахъ за послднее столтіе, то увидимъ разницу въ матеріал и въ его объяененіи. Но эта разница сдлается рзко-очевидной, если сопоставить учебники древняго времени съ учебниками новаго. О характер объясненій въ старинное время или, врне, объ отсутствіи объясненій мы уже упоминали. Но самое содержаніе ариметики сейчасъ далеко не то, каково оно было прежде. Приведемъ нсколько подробностей.
Въ ариметик, составленной Павломъ Цвтковымъ (1834 г.), есть отдлъ объ извлеченіи квадратныхъ и кубическихъ корней. Этотъ отдлъ исключенъ изъ ариметики вообще около средины 19-го вка. Корни извлекаются у Цвткова изъ отвлеченныхъ чиселъ и изъ именованныхъ. Напр., корень квадратный изъ 4 дней 302 час. 369 мин. квадратныхъ составляетъ 2 дня 3 часа 3 мин.; при этомъ вводится квадратный день, въ которомъ 576 квадр. ч. и кв. часъ въ 3600 кв. минутъ — все это несообразности.
До второго десятилтія 19-го в. вставлялись въ ариметику логаримы, и это начали длать съ самаго ихъ примненія къ математик, т. е. съ 17 ст. У Василія Загорскаго (1806 г.) логаримы подробно объяснены, и къ нимъ приложены таблицы; въ этихъ таблицахъ содержатся логаримы чиселъ до 10000 съ семью десятичными знаками.
Въ «Начальныхъ основаніяхъ ариметики», сочиненныхъ Степаномъ Румовскимъ (1760 г.), помщены прогрессіи, которыя мы встрчаемъ у всхъ его предшественниковъ. У Магницкаго въ его извстной «Ариметик, сирчь наук числительной», которая «съ разныхъ діалектовъ на славенскій языкъ преведена, и во едино собрана, и на дв книги раздлена», вся вторая книга, т. е. вторая половина, содержитъ такіе отдлы, которые сейчасъ у насъ не признаются ариметическими и ни въ какомъ случа не помщаются въ учебникахъ ариметики. Это, во-первыхъ, ариметика-алгебраика, по нашему сказать алгебра, съ ея нумераціей и дйствіями и съ извлеченіемъ такихъ мудреныхъ корней, что одно названіе ихъ приводитъ въ недоумніе: биквадратъ или зензизензусъ—корень 4-й степени, солидусъ или сурдесолидусъ—5-й степени, квадратокубусъ или зензикубусъ—6-й степени, бисурдесолидусъ или бисолидусъ—7-й степени, триквадратъ или зензизензусъ отъ зенза—8-й степени, бикубусъ, кубокубусъ, сугубый кубусъ—9-й ст.; квадратъ солида, зенсурдесолидъ—10-й ст.; кубосурдесолидъ, терсолидъ—11-й ст., биквадрато-кубусъ — 12-й ст. За этими корнями, которые, впрочемъ, боле страшны и обширны своими названіями, чмъ процессомъ извлеченія, идетъ ариметика-логистика или астрономская «како въ градусахъ, минутахъ и секундахъ, и въ прочихъ колесъ сченіяхъ дйство и чинъ ариметика содержитъ»; здсь просто-напросто показывается, какъ
Эта пестрота и этотъ наборъ всевозможнаго матеріала, который складывается въ одну кучу, на всякій случай, авось пригодится гд-нибудь въ жизни и хозяйств, эта пестрота и случайность еще боле проскальзываютъ въ старинныхъ сборникахъ XVI—XVII вка. Чего-чего только тамъ нтъ. Какъ Плюшкинъ тащилъ въ свою груду всякій ненужный хламъ и рухлядь, и какъ любитель-коллекціонеръ добываетъ и вставляетъ въ свое собраніе всякія мелочи и подробности, такъ и авторы старинныхъ учебниковъ собирали въ ариметику все, что хоть сколько-нибудь подходитъ къ ея практическимъ требованіямъ и можетъ дать отвтъ на какой-нибудь числовой воііросъ. О смысл, цлесообразности и воспитательномъ дйствіи науки не заботились: лишь бы только она годилась для жизни. Доходило дло до такихъ курьезовъ и странностей: «Есть убо человкъ, яко же повдаютъ, на глав имя 3 швы и на углы составлены; женская же глава иметъ единъ шовъ, кругомъ обходя главу; да по тому знаменію и въ гробхъ знаютъ, кая мужеска, кая-ли женска». «Хошь сыскати тварей обновленіе небу и земл, морю и звздамъ, солнцу и лун, и индикту». Оказывается, небо поновляется въ 80 лтъ, а земля въ 40 лтъ, море въ 60 лтъ.
Въ составъ средневковыхъ ариметикъ входили еще такъ называемыя математическія развлеченія. Трудно и скучно было тогдашнимъ ученикамъ. Сухое изложеніе, мудреный языкъ, масса научныхъ терминовъ, отсутствіе объясненій [10] — все это приводило къ тому, что ученье обращалось въ долбленье, и только боле счастливые, т. е. боле сильные, умы могли справляться съ матеріаломъ, перерабатывать и понимать. Вотъ когда появились поговорки: «корень ученья горекъ» и «лучше книги не скажешь». Чтобы хотъ нсколько оживить учениковъ, утшить и ободрить, ихъ назидали, во-первыхъ, ув-щательными стихами, гд воспвалась вся сладость подвига и вся цнность результатовъ, которыхъ иметъ достигнуть «мудролюбивый» отрокъ:
10
Оддо, педагогъ 12 в. по Р. X., очень затрудняется въ объясненіяхъ и оправдываетъ себя тмъ, что «все это гораздо легче объяснить устно, чмъ письменно».
Во-вторыхъ, давались задачи съ оотроумнымъ содержаніемъ и требовавшія особенной изворотливости и догадки. Вотъ задача изъ сборника, приписываемаго Алькуину (въ 8 в. по Р. X). Рукопись относится приблизительно къ 1000 г. по Р. X. «Два человка купили на 100 сольдовъ свиней и платили за каждыя пять штукъ по 2 сольда. Свиней они раздлили, продали опять каждыя 5 штукъ по 2 сольда и при этомъ получили прибыль. Какъ это могло случиться? А вотъ какъ: на 100 сольдовъ приходится 250 свиней, ихъ они раздлили пополамъ, на 2 стада, и изъ перваго стада отдавали по 2 свиньи на 1 сольдъ, а изъ второго по 3; тогда достаточно выдать по 120 штукъ изъ каждаго стада, такъ какъ придется получить 60 сольдовъ за свиней перваго стада, 40 за свиней второго, всего 100 сольдовъ; 5-ть же штукъ изъ каждаго стада останется въ прибыли». Требуется разгадать эту загадку.
Въ сборник Алькуина содержится извстная загадка о волк, коз и капуст, которыхъ надо перевезти черезъ рку, съ такимъ условіемъ, что въ лодк нельзя помщать волка съ козой, козы съ капустой, и оставлять на берегу тоже нельзя вмст, потому что они съдятъ; какъ же это устроить?
Лучшій сборникъ задачъ-загадокъ издалъ Баше-де-Мезиріакъ въ 1612 году, заглавіе его такое: Probl`emes plaisantes et d`elictables qui se font par les nombres. Въ немъ помщена большая часть тхъ задачъ, какія встрчаются и сейчасъ въ сборникахъ этого рода, наприм., о задуманныхъ числахъ, о работник, котораго нанимаетъ хозяинъ съ условіемъ платить ему за рабочіе дни и вычитать за прогульные, и т. д.