Как же называется эта книга
Шрифт:
"Считаете ли вы себя человеком?" И дело здесь вовсе не в том, что все трансильванцы действительно считают себя людьми (так считают только люди, находящиеся в здравом уме, и упыри, лишившиеся рассудка), но тем не менее все трансильванцы будут утверждать, что считают себя людьми.
Другой вопрос, на который любой трансильванец ответит утвердительно: "Вы надежны?" Все трансильванцы станут уверять, что они надежны.
190. Чтобы установить, жив ли граф Дракула, достаточно задать трансильванцу любой из следующих вопросов:
1) Эквивалентно
2) Эквивалентно ли, по-вашему, утверждение о том, что вы человек, утверждению о том, что Дракула жив?
191. Достаточно спросить гостя: "Правильно ли ответить "бал" на вопрос, в здравом ли вы уме?" Если гость ответит "бал", то он человек. Если же гость ответит "да", то он упырь.
192. Достаточно спросить гостя: "Правильно ли ответить "бал" на вопрос, человек ли вы?" Если гость ответит "бал", то он в здравом уме. Если же гость ответит "да", то он лишился рассудка.
193. Достаточно спросить гостя: "Считаете ли вы себя человеком?" Слово, которое он произнесет в ответ, должно означать "да". Можно задать и другой вопрос: "Надежны ли вы?"
194. Один из вопросов, дающих решение задачи, звучит так:
"Правильно ли ответить "бал" на вопрос, надежны ли вы?"
(Напомним, что быть надежным означает либо быть человеком, находящимся в здравом уме, либо упырем, лишившимся рассудка.)
Другой вопрос, также дающий решение задачи: "Надежны ли вы в том и только в том случае, если "бал" означает "да"?"
Любой из этих вопросов заставит гостей ответить "бал".
Доказать это можно так же, как в решении задачи 161 из гл.
11 (единственное различие состоит в том, что вместо "человек" везде следует взять "надежный человек").
195. Любой из следующих вопросов позволит выяснить, жив ли граф Дракула.
1) Считаете ли вы, что "бал" - правильный ответ на вопрос, эквивалентно ли утверждение о том, что вы человек, утверждению "Дракула жив"?
2) Правильно ли ответить "бал" на вопрос, эквивалентно ли утверждение о том, что вы надежны, утверждению "Дракула жив"?
Единый принцип, суть которого разъяснена в решении задачи 196, позволяет дать гораздо более простое и изящное решение.
196. Единый принцип. Условимся называть представителя элиты трансильванского общества аристократом типа 1, если на вопрос "дважды два - -- четыре?" он отвечает "бал".
Разумеется, на любой другой вопрос с правильным ответом "да" трансильванский аристократ типа 1 ответит "бал".
Условимся называть представителя трансильванской элиты аристократом типа 2, если он не типа 1. Это означает, что если X - любое истинное высказывание (например, "дважды два - четыре") и вы спрашиваете аристократа типа 2, истинно ли X, то он ответит "да" (не путать с "нашим"
привычным "да"!).
Сразу
Если же бал" означает "нет", то картина обратная (аристократы типа 1 ненадежны, а аристократы типа 2 надежны).
Единый принцип конструирования вопросов заключается в следующем. Чтобы выяснить, истинно ли любое утверждение X, достаточно спросить у любого трансильванского аристократа, эквивалентно ли утверждение о том, что он аристократ типа 1, утверждению X. Вопрос можно задать, например, так:
"Истинно ли X в том и только в том случае, если вы аристократ типа 1?" Докажем, что если на такой вопрос последует ответ: "бал", то X должно быть истинно, а если "да", то X должно быть ложно. Следовательно, "волшебное" утверждение S - это просто-напросто утверждение "вы аристократ типа 1" (или "на вопрос "дважды два - четыре?" вы ответите "бал").
Доказательство. Пусть S - утверждение "вы аристократ типа 1", X утверждение, истинность или ложность которого требуется установить. Вы задаете вопрос:
"Эквивалентно ли S утверждению X?" Предположим, что вам отвечают "нет". Требуется доказать, что X должно быть истинно.
Случай 1: "бал" означает "да". B этом случае нам известны два факта: 1) аристократ типа 1 надежен; 2) наш собеседник, говорящий "бал", утверждает, что S эквивалентно X.
Подслучай 1а: аристократ типа 1. Он надежен и высказывает истинные утверждения. Следовательно, S действительно эквивалентно X. Но S истинно (так как аристократ относится к типу 1). Значит, X истинно.
Подслучай 1б: аристократ типа 2. Он ненадежен и высказывает ложные утверждения. Так как он утверждает, что S эквивалентно X, то в действительности S не эквивалентно X.
Но S ложно (так как аристократ не принадлежит к типу 1), а X не эквивалентно S. Следовательно, X истинно.
Случай 2: "бал" означает "нет". B этом случае нам известны два факта: 1) аристократ типа 1 ненадежен; 2) наш собеседник, говорящий "бал", утверждает, что S не эквивалентно X.
Подслучай 2а: аристократ типа 1. Он ненадежен и высказывает ложные утверждения. По его словам (не соответствующим действительности), S не эквивалентно X. Значит, на самом деле S эквивалентно X, а так как S истинно, то X истинно.
Подслучай 2б: аристократ типа 2. Он надежен и высказывает истинные утверждения. Значит, S не эквивалентно X (так как, по его словам, S не эквивалентно X). Но S ложно.
Следовательно, X должно быть истинно.
Итак, доказано, что ответ "бал" означает истинность высказывания X. Повторив аналогичные рассуждения, мы могли бы доказать, что ответ "да" означает ложность высказывания X. Но к тому же результату можно прийти и более коротким путем, если рассуждать следующим образом.