Курс теоретической астрофизики

Соболев Виктор Викторович

i-1

k=1

A

_ik

.

Приравнивая два последних выражения, получаем

n

_i

i-1

k=1

A

_ik

=

n

_e

n

C

_i

(T

_e

)

+

k=i+1

n

_k

A

_ki

+

n

B

_i

_i

(i=2, 3, 4, …).

(24.1)

Величина _i,

представляющая собой плотность излучения в лаймановской линии, нам заранее не известна. Рассмотрим поэтому два предельных случая уравнений (24.1).

В случае А будем предполагать, что оптическая толщина туманности в лаймановских линиях очень мала по сравнению с 1. Тогда будет малой и плотность излучения _i. Поэтому, пренебрегая последним членом в каждом из уравнений (24.1), находим

n

_i

i-1

k=1

A

_ik

=

n

_e

n

C

_i

(T

_e

)

+

k=i+1

n

_k

A

_ki

(i=2, 3, 4, …).

(24.2)

В случае В (который для наблюдаемых туманностей гораздо ближе к действительности, чем предыдущий случай) оптическая толщина туманности в лаймановских линиях считается очень большой. В этом случае почти все кванты, излучаемые при переходе i->1, поглощаются при обратном переходе, т.е. n_iA_i. Следовательно, вместо системы уравнений (24.1) имеем

n

_i

i-1

k=2

A

_ik

=

n

_e

n

C

_i

(T

_e

)

+

k=i+1

n

_k

A

_ki

(i=3, 4, 5, …).

(24.3)

Таким образом, в обоих случаях мы пришли к системе линейных алгебраических уравнений относительно чисел z_i=n_i/n_en.

Система уравнений (24.3) для водорода была приближённо решена Силлье, который использовал 12 первых уравнений (i=3, 4, …, 14) и отбросил остальные. Коэффициент рекомбинации C_i(T_e) находился при этом по формуле (23.7).

Позднее Мензел и Бэкер [5] рассмотрели системы уравнений (24.2) и (24.3), взяв более точное выражение для коэффициента рекомбинации (с гаунтовским множителем, отличным от единицы) и приняв во внимание более высокие уровни. В их таблицах приведены значения величины b_i определённой соотношением

n

_i

=

b

_i

n

_e

n

i^2h^3

(2mkT_e)^3^/^2

exp

_i

kT_e

,

(24.4)

т.е. показывающей, во сколько раз значение n_i/n_en

в туманностях отличается от значения n_i/n_en в состоянии термодинамического равновесия с температурой T_e.

Ситон получил более точные решения систем уравнений (24.2) и (24.3). Искомая величина z_i была при этом представлена в виде

z

_i

=

C

_i

+

k=i+1

Q

_ki

C

_k

,

i-1

k=k

A

_ik

(24.5)

где k=1 в случае А и k=2 в случае В, а величины Q_ki (зависящие только от эйнштейновских коэффициентов спонтанных переходов и от значения k) составляют элементы «каскадной матрицы». Очевидно, что величина Q_ki определяет вероятность попадания атома на уровень i с уровня k любым путём. Вычисленные Ситоном значения величины b_iexp(_i/(kT_e)) приведены в табл. 32.

Таблица 32

Значения величины b_i exp

_i

kT_e

i

T

_e

, K

Случай А

Случай B

10 000

20 000

10 000

20 000

2

0,193

0,315

–

–

3

0,213

0,332

0,668

1,013

4

0,244

0,364

0,540

0,792

5

0,273

0,394

0,519

0,739

6

0,299

0,421

0,520

0,725

7

0,322

0,443

0,529

0,722

8

0,341

0,463

0,540

0,725

9

0,360

0,480

0,552

0,730

10

0,376

0,480

0,552

0,730

15

0,434

0,547

0,605

0,756

20

0,472

0,580

0,635

0,772

25

0,499

0,603

0,656

0,785

30

0,520

0,621

0,673

0,795

Мы видим, что величина b_i сильно отличается от единицы (а при i->, как и следовало ожидать, b_i– >1). На этом основании может сложиться впечатление, что в отношении распределения атомов по состояниям туманности близки к термодинамическому равновесию. В действительности это верно только в отношении величин n_i/n_en (при i>=2 в случае А и при i>=3 в случае В). Если же рассматривать степень возбуждения атомов n_in то эта величина очень далека от своего значения при термодинамическом равновесии. В самом деле, из формул (23.14) и (24.4) мы получаем