Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
Найдём зависимость температуры от оптической глубины в данном случае. Для этого мы должны воспользоваться уравнением переноса излучения в форме (1.20). Проинтегрировав это уравнение по всем частотам, получаем
cos
I
r
–
sin
r
I
r
=-
I
+
,
(7.1)
где — средний коэффициент поглощения. Обозначая, как обычно, =S, в качестве условия лучистого равновесия имеем
S
=
I
d
4
.
(7.2)
Интегрирование (7.1)
H
=
C
r^2
,
(7.3)
где C — некоторая постоянная. (Очевидно, что 4C есть светимость звезды.)
Умножая (7.1) на cos и интегрируя по всем направлениям, в приближении Эддингтона находим
4
3
dS
dr
=-
H
,
(7.4)
или, на основании (4.15),
ac
3
dT
dr
=-
H
.
(7.5)
Для коэффициента поглощения возьмём выражение
~
^2
Ts
(7.6)
[сравните с формулами (5.35) и (5.36)] и допустим, что плотность в фотосфере обратно пропорциональна некоторой степени расстояния от центра звезды, т.е.
~
1
rn
.
(7.7)
Подставляя (7.3), (7.6) и (7.7) в уравнение (7.5) и интегрируя его, получаем
T
=
T
r
r
2n+1
4+s
,
(7.8)
где T — температура на расстоянии r.
Пользуясь формулами (7.7) и (7.8), можно также легко получить зависимость оптической глубины от расстояния r. Подстановка указанных формул в соотношение d=- dr и интегрирование даёт
=
r
r
2
4n-s-2
4+s
(7.9)
где под r теперь понимается расстояние от центра звезды при =1. Из (7.8) и (7.9) получаем искомую зависимость T от :
T
=
T
2n+1
2(4n-s-2)
.
(7.10)
Возьмём, например, n=2 и s=4. Тогда имеем
T
=
T
5/4
.
(7.11)
Таким образом, в протяжённой фотосфере температура возрастает с оптической глубиной гораздо быстрее, чем в фотосфере, состоящей из плоскопараллельных слоёв.
Знание зависимости T от =1 даёт возможность вычислить распределение энергии в непрерывном спектре
2. Покровный эффект.
Излучение звезды в непрерывном спектре, проходя через поверхностные слои звезды, испытывает частичное поглощение в спектральных линиях. Энергия, поглощённая в линиях, возвращается обратно в фотосферу. Вследствие этого увеличивается плотность излучения в фотосфере, а значит, и её температура. Это явление называется покровным эффектом.
Обозначим через A долю энергии, поглощённой в спектральных линиях. Эта величина может быть найдена из наблюдений. Например, для Солнца она приблизительно равна 10%.
Поглощение энергии в линиях происходит в поверхностном слое с оптической толщиной в непрерывном спектре порядка нескольких десятых. Однако для простоты мы сейчас примем, что энергия поглощается в линиях на границе звезды (при =0). Тогда при предположении о независимости коэффициента поглощения в непрерывном спектре от частоты (или при использовании среднего коэффициента поглощения) учёт покровного эффекта может быть произведён точно.
При составлении уравнения лучистого равновесия для данной задачи надо иметь в виду, что на каждый элементарный объём в фотосфере падает как диффузное излучение, идущее со всех сторон, так и излучение, отражённое от границы и ослабленное по пути. Интенсивность диффузного излучения мы обозначим через I(,), а интенсивность излучения, отражённого от границы,— через I*. Тогда в качестве условия лучистого равновесия получаем
S
=
1
2
+1
– 1
I(,)
d
+
1
2
I
*
1
0
e
– /
d
.
(7.12)
Подставляя в (7.12) выражение I(,) через S, найденное из уравнения переноса излучения (т.е. поступая так же, как при получении уравнения Милна), находим
S
=
1
2
0
E|-'|
S(')
d'
+
1
2
I
*
E
.
(7.13)
Для определения величины I* мы должны воспользоваться соотношением
I
*
=
2A
1
0
I(0,)
d
,
(7.14)
выражающим собой тот факт, что из количества энергии, падающей на границу, отражается обратно доля A. Очевидно, что в данном случае поток излучения должен быть таким же, как и при отсутствии покровного эффекта (т.е. равным F). Поэтому имеем