Курс теоретической астрофизики

Соболев Виктор Викторович

I

(t

,)

=

I

(0,)

при

<

2

.

(10.7)

Таким образом, задача состоит в решении системы уравнений (10.5) при граничных условиях (10.6) и (10.7).

Для решения полученной системы уравнений могут быть использованы методы, изложенные в гл. I. Применим к ней первый приближённый метод (т.е. метод Шварцшильда —

Шустера).

Обозначая через I' среднюю интенсивность излучения, идущего снизу вверх, и через I'' — среднюю интенсивность излучения, идущего сверху вниз, вместо системы уравнений (10.5) приближённо получаем

1

2

dI'

dt

=

I

'

–

S

,

–

1

2

dI''

dt

=

I

''

–

S

,

S

'

=

(

I

'

–

I

''

).

(10.8)

Из уравнений (10.8) следует

I

'

–

I

''

=

F

,

I

'

+

I

''

=

2F

t

+

C

,

(10.9)

где F и C — произвольные постоянные.

Граничные условия (10.6) и (10.7) в данном случае принимают вид

I

''

=

0

при

t

=

0

,

I

'

=

I

при

t

=

t

,

(10.10)

где I — средняя интенсивность излучения, входящего из фотосферы в атмосферу. При помощи (10.10) находим

C

=

F

,

F

=

I

1+t

.

(10.11)

Знание произвольных постоянных позволяет получить из уравнений (10.8) и (10.9) следующее выражение для функции S:

S

=

I

1+t

1

2

+

t

.

(10.12)

Интенсивность

излучения, выходящего из атмосферы, в рассматриваемом случае равна

I

(0,)

=

t

0

S

(t

)

e

^{– tsec} 

sec 

dt

+

+

I

(0,)

e

^{– tsec} 

.

(10.13)

Если мы подставим сюда найденное выражение для S и воспользуемся формулой (9.10), то получим искомую величину r, характеризующую профиль линии поглощения на угловом расстоянии от центра диска.

Чтобы определить величину r, характеризующую профиль линии в спектре всей звезды, надо найти потоки излучения, выходящего из атмосферы в частоте внутри линии и в непрерывном спектре вблизи линии. В принятом приближении эти величины равны

H

=

F

,

H

=

F

.

(10.14)

Подставляя (10.14) в (9.11) и пользуясь второй из формул (10.11), получаем

r

=

1

1+t

.

(10.15)

Заметим, что величина 1/(1+t) представляет собой долю фотосферного излучения, пропущенного атмосферой в частоте (вообще говоря, после многократных рассеяний). Величина же t/(1+t) есть доля этого излучения, отражённого обратно в фотосферу.

Мы можем переписать формулу (10.15) в несколько другом виде. Входящая в неё величина t/(1+t) представляющая собой оптическую толщину атмосферы в частоте , равна

t

/(1+t

)

=

r

dr

,

(10.16)

где r — радиус основания атмосферы. Представим объёмный коэффициент поглощения в виде =nk, где n — число атомов в нижнем состоянии для данной линии (или, как иногда говорят, число поглощающих атомов) в 1 см^3 и k — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом. Тогда, считая, что k не зависит от места в атмосфере, вместо (10.16) получаем