Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

^S'

Dx(t)

dx

₁

– 1

(11.7)

и, следовательно,

e

^S-S'

<=

e

^{– (F-F')}

.

(11.8)

Отсюда

F

₀

<=F'

₀

–

1

S-S'

.

(11.9)

И

окончательно

F<=F'-

,

(11.10)

где

=

1

(S-S')

e

^S'

Dx(t)

dx

₁

e

^S'

Dx(t)

dx

₁

– 1

(11.11)

Именно здесь оказывается кстати принцип минимума. Он гласит, что если бы мы вычислили F'₀– для различных «действий» S' то результат, дающий наименьшее значение, был бы наиболее близок к правильному значению свободной энергии F ²⁰). На самом деле энергия F соответствует, конечно, случаю S'=S, однако можно считать, что если S и S' отличаются на некоторую величину первого порядка малости, то отличие F'- от F не превышает величины второго порядка малости.

²⁰ Стоит снова подчеркнуть, что как S, так и S' не являются функционалами действия в собственно физическом значении этого понятия, так как оба они содержат мнимую переменную u использованную в качестве «временной» переменной. Однако оперировать с интегралами по траекториям для этих функционалов можно так же, как для использованных выше физических функционалов действия.

Если бы удалось угадать общий вид функции S', пусть даже с точностью до каких-то неопределённых параметров, то можно было бы вычислить F'-, оставляя эти параметры неизвестными. Затем, минимизируя F'-, можно было бы подобрать лучшие значения этих параметров, «лучшие» в том смысле, что для них F'- наименее отличалось бы от истинного значения энергии F

Аналогичный принцип минимума можно использовать, чтобы определить приближённое значение энергии наинизшего состояния системы E₀. Напомним, что

Z

=

e

^{– F}

=

ⁿ

e

^{– E_n}

.

(11.12)

По мере того как температура системы убывает (т.е. с ростом величины ), члены этого ряда, содержащие более высокие значения энергии, становятся все менее и менее существенными. При определённых обстоятельствах в ряду Z будет преобладать член с наименьшей энергией e^{– E₀}, т.е.

lim

Z

=

e

^{– E₀}

.

– >

(11.13)

Теперь, рассуждая подобно предыдущему случаю, можно просто заменить в формулах F на E₀. Определим E'₀ как результат вычисления интеграла по траекториям с новым действием S и запишем

E

₀

<=E'

₀

–

(11.14)

в качестве

первого приближения в пределе больших значений .

При отыскании E₀ с помощью этого приёма наша задача будет несколько проще, чем в случае свободной энергии F. В частности, можно пренебречь условием совпадения начальной и конечной точек траекторий. Чтобы понять это, вернёмся к выражению (10.28) и заметим, что с ростом в матрице плотности (x',x) доминирующим также становится член нулевого порядка и она стремится к величине e^{– E₀}(x')*₀(x). Поэтому точки x' и x войдут только в предэкспоненциальный множитель, и их положение не повлияет на поведение экспоненты, в то время как оно является основным в таком вычислении E₀.

§ 2. Применение вариационного метода

В качестве примера вычисления функции распределения с использованием только что описанного вариационного принципа рассмотрим случай одномерного движения одной частицы. Используя приближение, развитое в гл. 10, действие для такой частицы можно записать в виде

S

=-

⁰

m

2

[x(t)]^2

+

V[x(t)]

dt

.

(11.15)

Тогда при больших значениях функция распределения равна

e

^{– E₀}

_x0

^x₀

exp

–

⁰

m

2

[x(t)]^2

+

V[x(t)]

dt

Dx(t)

dx

₀

.

(11.16)

Этот интеграл взят по тем тракториям, которые возвращаются к исходным начальным точкам; после его вычисления проводится дальнейшее интегрирование по всем возможным начальным точкам.

В § 2 гл. 10 мы уже рассмотрели аналогичную задачу и выяснили, каким образом здесь можно получить классическое приближение. В классическом пределе при высоких температурах (когда kT велико по сравнению с h) величина h столь мала, что траектории, проходящие далеко от точки x₀, не дают заметного вклада. Поэтому потенциал можно заменить постоянной величиной V(x₀), и вклад интеграла по траектории будет постоянной величиной, равной

(e

^{– E₀}

)

_{классич}

=

m

2

1/2

e

^{– V(x)}

dx

,

(11.17)

как показано в выражении (10.48).

В гл. 10 рассматривалось квантовомеханическое уточнение классического результата путём разложения потенциала в ряд около среднего положения траектории с точностью до членов второго порядка. Дальнейшее уточнение было достигнуто с помощью потенциала U, полученного специальным методом усреднения. Теперь мы видим, что такое приближение явилось частным случаем применения вариационного метода. Чтобы пояснить эту мысль, пересмотрим основные пункты рассуждений, используя обозначения и понятия этой главы.