Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Z(t)
=
w
2
e
– w|t-s|
X'(s)
ds
(11.70)
так, чтобы
d^2Z(t)
dt^2
=
w^2
[Z(t)-X'(t)]
.
(11.71)
Тогда уравнение (11.68) принимает вид
d^2X'(t)
dt^2
=
4C
w
[X'(t)-Z(t)]
–
f(t)
.
(11.72)
Как
I
=
exp{ik·[X-X]}
=
=
exp
–
2Ck^2
v^2w
(1-e
– v|-|
)
–
w^2
2v^2
k^2
|-|
,
(11.73)
где мы положили
v^2
=
w^2
+
4C
w
.
(11.74)
Этот результат нормирован правильно, так как он справедлив в случае k=0. После подстановки выражения (11.73) в (11.63) получим интеграл по k от простой гауссовой функции, так что для A имеем
A
=
– 1/2
v
w
0
w^2
–
v^2-w^2
v
(1-e
– v
)
– 1/2
e
– w
d
.
(11.75)
Чтобы найти B, нам нужно определить величину |r(t)-r(s)|^2. Её можно получить, разложив обе части выражения (11.73) в ряд по k с точностью до членов порядка k. Таким образом,
1
3
|r-r|^2
=
4C
v^3w
(1-e
– |-|
)
+
w^2
v^2
|-|
.
(11.76)
Интеграл A теперь легко вычислить, и результат выражается в очень простом виде:
B
=
3C
vw
.
(11.77)
В итоге нам нужно получить энергию E', соответствующую действию S'. Эту величину проще всего найти дифференцированием обеих частей выражения (11.6) по C:
CdE'0
dC
=
B
,
(11.78)
так что с учётом выражений (11.77) и (11.74) получаем после интегрирования
E'
0
=
3
2
(v-w)
,
(11.79)
где мы учли, что E'0=0 при C=0. Поскольку E'0– B=(3/4v)(v-w)^2, то окончательно получим для энергии выражение
E
=
3
4v
(v-w)^2
–
A
,
(11.80)
где A задано соотношением (11.75). Величины v и w — два параметра, которые для получения минимума можно варьировать порознь.
К
A
=
– 1/2
v
1/2
0
e
–
d
(1-e
– v
)
– 1/2
=
(1/v)
v 1/2 ( 1/2 +1/v)
(11.81)
и E'0=3v/4. Это эквивалентно тому, что в выражении (11.37) используется потенциал, который соответствует свободным гармоническим колебаниям. При больших v членом e– v можно пренебречь, так что A=– 1/2 v 1/2 . Для значений , меньших чем 5,8, и при w=0 выражение (11.80) не имеет минимума, только если не выполнено условие v=0, так что случай w=0 не даст единого выражения для всех значений . Несмотря на этот недостаток, результат (11.81) сравнительно прост и достаточно точен. При >6 фактически существенны только большие значения v и пригодна приближённая формула
A
=
v
1/2
1+
2 ln2
v
;
(11.82)
при v>4 эта формула выполняется с точностью до 1%. Однако, например, Фрёлих [9] рассматривает разрыв при =6 как серьёзный недостаток — недостаток, которого можно избежать в нашей теории. Мы сделаем это, выбрав w отличным от нуля.
Изучим выражение (11.80) при малых значениях и w/=0. Минимум будет иметь место, когда v близко к w. Поэтому положим v=(1+)w, считая малым, и разложим радикал в выражении (11.81). Это даст
A
=
v
w
1-
0
– 3/2
e
–
(1-e
– w
)
d
2 1/2
+…
,
(11.83)
интеграл равен
2
– 1
[(1+w)
1/2
– 1]
=
P
.
(11.84)
В этом приближении задача сводится к минимизированию выражения
E
=
3
4
w^2
– -(1-P)
,
(11.85)
получающегося с помощью подстановок из выражения (11.80); отсюда следует
=
2(1-P)
3w
.
(11.86)
Этот результат справедлив только при малых значениях , так как мы предположили, что мало. Окончательно
<