Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
–
*
dx
=
–
1
dx
=
и не выполнено условие равенства (4.47), которое применялось при выводе выражения (4.62). Оба эти пункта можно одновременно исправить чисто математическим путём. Возвратимся к разложению произвольной функции по собственным функциям n:
f(x)
=
n
a
n
n
(x)
(4.65)
и
Нормировка на конечный объём. Многие физики предпочитают другой, менее строгий подход. То, что они делают, заключается в некоторой модификации исходной задачи, причём результаты (в их физическом смысле) изменятся несущественно, однако все состояния оказываются дискретными по энергии и поэтому все разложения принимают вид простых сумм. В нашем примере этого можно достичь следующим образом. Мы рассматриваем амплитуду вероятности перехода из точки (x1,t1) в точку (x2,t2) за конечное время. Если эти две точки находятся на некотором конечном расстоянии друг от друга и разделяющий их промежуток времени не слишком велик, то в амплитуде заведомо не будет сколько-нибудь заметных различий от того, является ли электрон действительно свободным или предполагается помещённым в какой-то очень большой ящик объёмом V со стенками, расположенными очень далеко от точек x1 и x2. Если бы частица могла достичь стенок и вернуться назад за время t2– t1, это могло бы сказаться на амплитуде; но если стенки достаточно удалены, то они никак не повлияют на амплитуду.
Конечно, это предположение может стать неверным при некотором специальном выборе стенок; например, если точка x2 будет находиться в фокусе волн, вышедших из точки x1 и отражённых от стенок. Иногда по инерции допускают ошибку, заменяя систему, находящуюся в свободном пространстве, системой, расположенной в центре большой сферы. Тот факт, что система остаётся точно в центре идеальной сферы, может давать некий эффект (подобно появлению светлого пятна в центре тени от совершенно круглого предмета), который не исчезает, даже если радиус сферы стремится к бесконечности. Влияние поверхности было бы пренебрежимо малым в случае стенок другой формы или для системы, смещённой относительно центра этой сферы.
Рассмотрим сначала одномерный случай. Волновые функции, зависящие от координаты, имеют вид eipx, где x принимает оба знака. Какой вид будут иметь функции , если область изменения x ограничить произвольным интервалом от -L/2 до L/2? Ответ зависит от граничных условий, определяющих значения в точках x=-L/2 и x=L/2. Простейшими с физической точки зрения являются граничные условия в случае стенок, создающих для частицы сильный отталкивающий потенциал, ограничивая тем самым область её движения (т.е. при идеальном отражении). В этом случае в точках x=-L/2 и x=L/2 (x)=0. Решениями волнового уравнения
–
h^2
2m
^2
x^2
=
E,
(4.66)
соответствующими энергии E=p^2/2m=h^2k^2/2m в области |x|<L/2, будут экспоненты eikx и e– ikx или любая их линейная комбинация. Как eikx, так и e– ikx не удовлетворяют выбранным граничным условиям, однако при k=nL (где n — целое число) требуемыми свойствами обладает в случае нечётного n их полусумма (т.е. cos kx), а в случае чётного n — делённая на i их полуразность (т.е. sin kx), как это схематически изображено на фиг. 4.1. Таким образом, волновые функции состояний имеют вид синусов и косинусов, а соответствующие им энергетические уровни дискретны и не составляют континуума.
Фиг. 4.1.
Показаны первые четыре из них. Энергии соответствующих уровней равны E1=h^2^2/2mL^2, E2=4E1, E3=9E1 и E4=16E1. Абсолютное значение энергии, которое зависит от размеров нашего фиктивного ящика, несущественно для большинства реальных задач. То, что действительно имеет значение, — это соотношение между энергиями различных состояний.
Если решения записать в виде 2/L cos kx и 2/L sin kx, то они будут нормированы, поскольку
L/2
L/2
(2/L)
1/2
cos kx
^2
dx
=1.
(4,67)
Сумма по всем состояниям является суммой по n. Если мы рассмотрим, например, синусоидальные волновые функции (т.е. чётные значения n), то при небольших значениях x и очень большой величине L (стенки далеки от интересующей нас точки) соседние по номерам n функции различаются весьма незначительно. Их разность
2/L
sin 2(n+1)
x
L
– sin 2n
x
L
=
=2
2/L
cos 2
2n+1
2
x
L
sin 2
x
2L
2/L
2x
L
cos 2
n+
1
2
x
L
(4.68)
приблизительно пропорциональна малой величине x/L. Поэтому сумму по n можно заменить интегралом по k=2n/L. Так как допустимые значения n расположены последовательно с интервалом 2/L, в промежутке n расположено L/2n состояний. Все это применимо также и к состояниям с косинусоидальной волновой функцией, поэтому во всех наших формулах мы можем заменить суммы интегралами
n=0
– >
0
dn
2
L,
(4.69)
не забывая, что в конце нужно сложить результаты для обоих типов волновых функций, а именно 2/L cos kx и 2/L sin kx.
Часто бывает неудобным использовать в качестве волновых функций sin kx и cos kx, и более предпочтительными являются их линейные комбинации
e
ikx
=
cos kx
+i
sin kx
и
e
– ikx
=
cos kx
– i
sin kx
.
Однако, вводя ограниченный объём V, мы вынуждены использовать синусы и косинусы, а не их линейные комбинации, потому что при заданном значении k решением будет лишь одна из этих функций, а не обе сразу. Но если пренебречь малыми погрешностями, являющимися следствием таких небольших различий в значениях k, то мы можем рассчитывать на получение правильных результатов и с этими новыми линейными комбинациями. После нормировки они принимают вид 1/Leikx и 1/Le– ikx. Поскольку волну e– ikx можно рассматривать как волну eikx, но с отрицательным значением k, наша новая процедура, включая объединение двух типов волновых функций, сводится к следующему практическому правилу: взять волновые функции свободной частицы eikx, нормировать их на отрезке длины L изменения переменной (т.е. положить =1/Leikx) и заменить суммы по состояниям интегралами по переменной k таким образом, чтобы число состояний со значениями k, заключённых в интервале (k,k+dk), было равно Ldk/2, а само k изменялось от - до +.