Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
(x,t+)
=
–
1
A
exp
im^2
2h
exp
–
i
h
V
x+
2
,t
[(x+),t]
d.
(4.5)
Фаза первой экспоненты изменяется примерно на радиан, когда порядка h/m, так что наибольший вклад в интеграл получится в области именно таких значений .
Функцию мы можем разложить в степенной ряд,
(x,t)
+
t
=
–
1
A
e
im^2/2h
1-
i
h
V(x,t)
x
x
(x,t)
+
x
+
1
2
^2
^2
x^2
d.
(4.6)
Если в правой части удержать лишь основной член, то получим произведение функции (x,t) на интеграл
1
A
–
e
im^2/2h
d
=
1
A
2ih
m
1/2
;
(4.7)
в левой же части мы имеем только (x,t). Для того чтобы обе части равенства (4.6) совпадали в пределе при , стремящемся к нулю, необходимо выбрать A таким образом, чтобы выражение (4.7) равнялось единице. Отсюда следует
A=
2ih
m
1/2
,
(4.8)
что мы видели и ранее [см. формулу (2.21)]. Таким способом величину A можно определять и в более сложных задачах. Значение A должно выбираться так, чтобы равенство (4.6) выполнялось с точностью до членов нулевого порядка по . В противном случае при ->0 предел исходного интеграла по траекториям не будет существовать.
Для вычисления правой части равенства (4.6) мы должны использовать два интеграла:
–
1
A
e
im^2/2h
d
=0
(4.9)
и
–
1
A
e
im^2/2h
^2
d
=
ih
m
(4.10)
Подставив в формулу (4.6) значения этих интегралов, получим
+
t
=-
i
h
V-
h
2im
^2
x^2
.
(4.11)
Последнее
–
h
i
t
=-
h^2
2m
^2
x^2
+
V(x,t).
(4.12)
Это и есть уравнение Шрёдингера для нашей задачи о движении частицы в одном измерении. Соответствующие уравнения для более сложных случаев можно составлять так же, как это сделано в рассмотренных ниже задачах.
Задача 4.1. Покажите, что для трёхмерного движения частицы во внешнем поле с потенциалом V уравнение Шрёдингера имеет вид
–
h
i
t
=-
h^2
2m
^2+V.
(4.13)
Это уравнение, впервые записанное Шрёдингером в 1925 г., определило центральное направление всего последующего развития квантовой механики.
Операторная форма уравнения Шрёдингера. Все уравнения, получаемые (соответственно различным видам лагранжиана) при решении, разных задач, можно для удобства записать в виде
–
h
i
t
=
H.
(4.14)
Символ H здесь не является числом, а указывает на операцию, которую необходимо совершить над функцией . Этот символ называется оператором Гамильтона. Например, для уравнения (4.12)
H=-
h^2
2m
^2
x^2
+V.
(4.15)
Такое операторное соотношение означает, что если под каждый оператор в обеих частях равенства подставить одну и ту же (любую) функцию f, то образуется полное уравнение для этой функции. Таким образом, соотношение (4.15) символически утверждает, что уравнение
Hf=-
h^2
2m
^2
x^2
+Vf
(4.16)
справедливо для любой функции f.
Задача 4.2. Лагранжиан заряженной частицы в магнитном поле равен
L=
mr^2
2
+
e
c
r·A-e,
(4.17)
где r — вектор скорости, e — заряд, c — скорость света, A и — векторный и скалярный потенциалы. Покажите, что соответствующее уравнение Шрёдингера имеет вид
–
h
i
t
=
1
2m
h
i
–
e
c
A
·
h
i
–
e
c
A
+e.
(4.18)
Следовательно, в этом случае гамильтониан равен
H=
1
2m
h
i
–
e
c
A
·
h