Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Можно задать другой вопрос: каким должно быть состояние f(x), чтобы быть уверенным, что система определённо обладает свойством G? (Например, какова волновая функция частицы, имеющей заданный импульс?) Другими словами, мы хотим найти такую функцию f(x), скажем F(x), при которой частица, проходящая через прибор, будет попадать именно в точку , а не в какую-либо другую точку '. Амплитуда вероятности попасть в точку ' должна быть пропорциональна (-') (т.е. равна нулю во всех точках, за исключением ='). Следовательно,
K
exp
(,x)
F(x)
dx
=
(-')
.
(5.28)
Это
K
exp
(',x)
K
*
exp
(,x)
dx
=
(-')
,
(5.29)
так что
F(x)
=
K
*
exp
(,x)
=
g(x)
.
(5.30)
Это означает, что функция g(x) — волновая функция частицы, которая заведомо обладает свойством G. Итак, мы можем сказать, что частица обладает свойством G, т.е. находится в состоянии g(x). Таким образом мы установили: если частица находится в состоянии f(x), то амплитуда вероятности найти её в состоянии g(x) есть
(x)
=
g*(x)
f(x)
dx
=
[g(x)]
.
(5.31)
Для большего числа степеней свободы x берётся в пространстве нескольких измерений.
Можно дать и не столь строгую формулировку вышесказанного: вероятность того, что частица находится в состоянии g(x), равна |g*(x)f(x)dx|^2. Эта формулировка хороша, когда мы знаем, что имеем при этом в виду. На самом деле система находится в состоянии f(x), а не в состоянии g(x), но если при измерении мы хотим узнать, будет ли она также находиться в состоянии g(x), то вероятность получить утвердительный ответ равна:
P(x)
=
–
g*(x)
f(x)
dx
^2
=
P[g(x)]
.
(5.32)
Измерение, с помощью которого выясняется, находится ли система в состоянии g(x) или нет, покажет, что система действительно находится в этом состоянии, если волновая функция системы равна g(x). Для других волновых функций повторение эксперимента даст утвердительный ответ лишь в некоторой части случаев, составляющей от всех испытаний долю P. Это является центральным пунктом вероятностной интерпретации квантовой механики.
Из всего этого следует одно интересное соотношение между самой волновой функцией и функцией, комплексно ей сопряжённой. В соответствии с нашим пониманием соотношения (5.25) функция g*(x) представляет собой амплитуду вероятности того, что если система занимает положение x,
Соотношение (5.31) может быть интерпретировано следующим образом: амплитуда вероятности того, что система обладает свойством G, представляет собой сумму по всем значениям x произведений амплитуды g(x), описывающей вероятность того, что система находится в положении x, и амплитуды f*(x), определяющей вероятность того, что если система занимает положение x, то она обладает свойством G.
Задача 5.3. Пусть интеграл
–
f*(x)
f(x)
dx
,
который даёт полную вероятность найти в каком-либо месте частицу с волновой функцией f(x), нормирован так, что его значение равно единице. Покажите, что при этом условии состояние f(x), в котором частица с наибольшей вероятностью будет обладать свойством G, совпадает с g(x).
Задача 5.4. Допустим, что (x1) — волновая функция системы в момент времени t1. Пусть при движении в интервале времени t2>=t>=t1 поведение системы описывается ядром K(x2,t2;x1,t1).
Покажите, что вероятность найти систему в состоянии (x) в момент времени t2 даётся квадратом интеграла
–
–
*(x
2
)
K(x
2
,t
2
;x
1
,t
1
)
(x
1
)
dx
1
dx
2
.
Мы будем называть этот интеграл амплитудой перехода из состояния (x) в состояние (x).
Измерение нескольких величин. В наших рассуждениях в гл. 4 мы предполагали идеальный эксперимент, когда одновременно с величиной A нельзя измерить никакую другую величину. Иначе говоря, мы допускали, что существует не более одной функции g(x), приводящей к данному результату, и утверждали тем самым, что при измерении величины A мы получаем максимум информации о нашей системе.