Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

F'

_a,b,c,…

=

F

_a,b,c,…

Задача 5.6. Пусть A, B, C — три декартовы компоненты импульса p_x, p_y, p_z. Каков вид функции _a,b,c(x,y,z)? Используя результаты § 2 гл. 5, проверьте соотношения, полученные в § 1 гл. 5.

Задача 5.7. Предположим, что ABC…-представление не является ни координатным, ни импульсным, а есть некое третье представление

состояния системы. Допустим, что нам известна функция _a,b,c,…(x,y,z,…), которая позволяет выполнить прямой и обратный переходы от координатного представления к ABC…-представлению. Пусть нам известна также преобразующая функция, необходимая для перехода от координатного представления к импульсному. Какой вид имеет тогда функция, позволяющая определить переходы между импульсным представлением и ABC…-представлением?

§ 3. Операторы

Ожидаемые значения. Мы можем рассмотреть теперь некоторые другие свойства преобразующих функций. Попытаемся ответить на такой вопрос: система находится в состоянии, которое определяется волновой функцией f(x), и мы измеряем величину A; какое среднее значение получится для величины A при многократном повторении эксперимента? Мы будем обозначать это среднее значение, называемое иногда ожидаемым значением, символом A.

Предположим, что в принципе возможно одновременное измерение нескольких физических величин A, B, C, …, причём измерение величины A даёт какое-то одно значение из непрерывного или дискретного ряда чисел a, измерение величины A — некоторое значение a, …. Вероятность получить определённый набор a, b, c, … равна |F_a,b,c,…|^2, а вероятность получить для величины A некоторое значение a при любых B, C, … (например, вообще не измеряя последние) равна

P(a)

=

 

^a

 

^b

…

|F

_a,b,c,…

|^2

.

(5.39)

Суммирование в этом равенстве производится по всем возможным значениям непрерывного или дискретного ряда величин b, c, … .

Среднее, или ожидаемое, значение результата измерения величины A получается умножением вероятности (5.39) на величину a и последующим суммированием произведений по всем возможным значениям этого a. Таким образом,

A

=

 

^a

 

^b

 

^c

…a

|F

_a,b,c,…

|^2

.

(5.40)

Необходимость вычисления подобных средних значений часто возникает при решении квантовомеханических задач. Поэтому полезно иметь формулы, упрощающие такие вычисления. Этот вопрос, связанный с операторами, уже обсуждался вкратце в § 1 гл. 4. Здесь мы получим несколько дополнительных результатов. Однако нигде в данной книге мы не будем обстоятельно излагать операторное исчисление, поскольку имеется целый ряд блестящих работ, посвящённых этому вопросу (см., например, [24]).

Операторы. Попытаемся выразить ожидаемое

значение величины A непосредственно с помощью исходной волновой функции f(x). Для этого прежде всего заметим, что квадрат абсолютного значения функции F_a,b,c,… можно записать как

|F

_a,b,c,…

|^2

=

F

_*

^a,b,c,…

F

_a,b,c,…

.

(5.41)

Используя формулу (5.36), получаем

A

=

 

^a

 

^b

 

^c

…a

^–

_a,b,c,…

(x)

f*(x)

dx

x

x

^–

_*

^a,b,c,…

(x')

f(x')

dx'

=

^–

f*(x)

R(x)

dx

.

(5.42)

Во второй строке этого равенства мы обозначили

R(x)

=

^–

G

_A

(x,x')

f(x')

dx'

,

(5.43)

где

G

_A

(x,x')

=

 

^a

 

^b

 

^c

…a

_a,b,c,…

(x)

_*

^a,b,c,…

(x')

.

(5.44)

Соотношение (5.43) говорит о том, что функция R(x) получается из функции f(x) в результате интегрирования, выполненного с помощью соответствующего величине A линейного интегрального оператора G_A(x,x'). Соотношения, подобные (5.43), часто символически записываются в виде

R

=

Af

,

(5.45)

где символом A обозначен линейный оператор, действующий на функцию f. В данном случае A означает операцию, которую следует выполнить в правой части соотношения (5. 43), т.е. умножение на функцию G_A и интегрирование. Оператор A сопоставлен физической величине A. Используя эти обозначения, можно написать

A

=

^–

f*(x)