Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Белл Эрик Темпл

Но тщетность дебатов не означает, что предмет дискуссии никого не интересует из числа участвующих в ней.

Математик, верящий в платоновский подход к математике, не найдет ничего нелепого или возмутительного в отрицании научного наблюдения и опыта в пользу чистого размышления. Более того, всю математику, кроме чистой, он удостоит лишь высокомерным презрением, особенно если вся его жизнь с детства протекала в закрытых аудиториях. Его оппонент найдет много возмутительного и, если он еще и окажется пессимистом, может даже напророчить повторение мрачного Средневековья. Ведь вера в реальность математики Платона явно превратилась в межевой столб между древними или средневековыми учеными умами и современными, или, как выразился бы модернист, между ненаучной и научной математикой.

Математики, как правило, ненаучны. Это точка зрения не математиков, а естествоиспытателей. Эту точку зрения можно проверить, опросив мнение тех, кто сделал науку своей жизнью.

Поскольку большая часть математического мировоззрения Платона вложена в уста героев его диалогов, можно не вдаваться в подробности, что он или они в действительности думали о математике. Только раз, например, Сократ в диалоге заговорил в своей традиционной манере. В отличие от Платона у Сократа не было излишне восторженного отношения к математике, кроме, пожалуй, как к открывательнице Истин или как к тренингу мозга. Он знал, что геометрия полезна при измерении полей, и далее в том же духе, и это все. В «Республике» Глокон вопрошает:

– Уверен, вы не в состоянии уважать профессионального математика как диалектика?

– Разумеется, нет. Мне не довелось встретить математика, способного размышлять, – спешит ответить Сократ.

Как ни суди, данное высказывание выглядит как честное признание. Хотя Сократ мог утрировать свою оценку, в наши дни полно людей, которые согласились бы с ним. Но Платон никогда.

Математика, утверждал он, ускоряет развитие умственных способностей и незаменима в качестве предварительной дисциплины для юных, тех кто еще недостаточно возмужал,

чтобы начать упорное изучение философии, диалектической аргументации и пифагорейской отрасли знания – нумерологии. Вклад математических занятий в достижение серьезных целей в философии прямой и позитивный. Важен именно математический метод, в значительно большей степени, чем математические истины. Будущий философ отрабатывает посредством геометрических упражнений правильное восприятие и функции определений, непосредственно дедукцию, технику анализа и метод доказательства от противного (описанный в одной из предыдущих глав), что важно как для диалектики, так и в организации строя мысли. Подобная тренировка необходима для всех, кто собирается получать знания, она готовит ум искать и распознавать наивысшие реальности как противостоящие чувственным свидетельствам. Математика сама по себе не может раскрыть высшую реальность или абсолютную истину, диалектика может. Мнение происходит от чувств и связано со «становящимся», знание идет от ума и относится к «существующему», математика становится мостом между мнением и знанием. Диалектика более проницательная и острая, чем математика, – это процесс, который выделяет новые истины путем анализа и аргументации. Исключительно в уме процесс проходит от Идеи, через Идею и к Идее. В чисто математическом доказательстве истинность гипотезы не подвергается сомнению. Диалектика же ищет и находит в идеях реальности, подтверждающие истинность математических предположений. Она подтверждает «самоочевидность» математических аксиом, называемых во времена Платона и долгое время после Платона «общеизвестными представлениями», как «самоочевидные истины» и проверяет базовые гипотезы и фундаментальные процессы всех методов раскрытия истин, из которых математический метод – лишь один из многих.

Если бы Платон писал сегодня, он, возможно, назвал бы все это метаматематикой и металогикой 1930-х годов. Две простые иллюстрации его обращения к математике для прояснения метафизического аргумента встречаются в «Меноне» и «Фаэдо». В первом задается вопрос, можно ли научить добродетели, в последнем – бессмертна ли душа. «Как принято в геометрии», гипотезы высказываются, их выводы анализируются, словно кто-то пытается доказать гипотетическую теорему. Оба аргумента будут подытожены в следующей главе. Второй, возможно, самый доступный пример такого рода очевидности, которая вдохновила Платона изобрести его Вечные идеи.

В случае с Платоном можно проследить неизменную догму,

что математика должна формировать основу солидного образования. По возвращении в Афины после своих путешествий в Италию и на Восток Платон остро почувствовал недостаток подготовки мальчиков Греции по арифметике и геометрии по сравнению с глубоким изучением материала по этим полезным предметам египетских школьников. Но он не долго занимался базовой полезностью. Так, в своей «Республике» он описал интенсивное математическое обучение для стражей своего идеального города, потому что, как он утверждал, все ремесла и отрасли знания необходимым образом включают число и расчеты. Отмечая, что существует не так много предметов столь сложных для среднего ума, как математика (в частности, арифметика), он ободрял робких, вселяя в них надежду, что число, когда его изучают ради него самого, становится чарующим и чем более абстрактна арифметика, тем лучше для души. На менее высоком уровне, говорят, арифметика и геометрия незаменимы в военной тактике, позволяя командующему использовать его войска для победы. В данной работе, насколько это касается арифметики, Платон, возможно, предпринял попытку визуализировать квадратные, треугольные и прямоугольные числа пифагорейцев в батальном построении. Этот боевой порядок уже использовался. Но, как и всегда, Платон заканчивал на идеалистической ноте: единственной правдивой и заслуживающей внимания целью изучения математики является продвижение души в направлении Сущего.

Если бы он жил сейчас, Платон не поладил бы с теми психологами, которые утверждают, будто доказали статистически, что нет или почти нет влияния изучения одного предмета на изучение другого и что вера наших отцов в математику как главную дисциплину не имеет под собой почвы. Какое бы допущение ни оказалось доказанным фактом в этой до некоторой степени желчной перепалке по вопросу значимости математики в базовом образовании, не возникает сомнения, что авторитет Платона усилил пифагорейское требование об усилении образования в области азов математики и более двух тысяч лет способствовал сохранению в школах арифметики и геометрии.

Если бы его спросили, что есть друг, он бы ответил: «Второе я». Чистая математика никогда не имела лучшего друга, чем Платон, а Платон – лучшего друга, чем чистая математика.

Глава 20

Обожествленное число

Перейдем к краткому изложению некоторых очевидных свойств, высказанных Платоном в поддержку «математического реализма». Во-первых, некоторые детали технического языка. Поскольку его Идеи оставались для Платона продолжающимися во времени «реальностями», его система стала разновидностью «реализма», несмотря на его убежденность в идеальности «сущностей», то есть Идей, находящихся за пределами прямого опыта и органов чувств.

Краеугольным камнем платоновского математического реализма является доктрина припоминания и размышления. Схематически она представлена в диалоге «Менон». Сократ и Менон спорят о возможности обучения добродетели. Сократ обязался доказать, что «обучению нет места» в том смысле, что один ум сообщает или пересылает знания другому, «только размышление». Он просит Менона, одного из его «бесчисленных сопровождающих лиц», послужить грешным телом в его наглядной демонстрации. Сократу требовался предположительно необразованный, но смышленый мальчик-раб, понимающий по-гречески и «рожденный в доме».

– Прислушайся к вопросам, которые я задаю ему, и определи, учится он у меня или только запоминает, – обращается он к Менону.

Изобретательными наводящими вопросами и простыми геометрическими диаграммами Сократ предлагает мальчику «запомнить» отдельные простейшие математические сведения. Например, он заставляет его посчитать 3 x 3 = 9; 2 x 4 = 8, прочитать на диаграмме, что 8 не является квадратом 3. Его неспособность показать квадратный корень из 2 на диаграмме остановила мальчика. Но он «запомнил», что квадрат удвоенного числа не является дважды квадратом этого числа, и случайно показал корень квадратный из восьми. После дальнейших уговоров Сократ попросил Менона сообщить ему выводы. Они имели большое значение.