Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Белл Эрик Темпл

Бесконечный раздор между знанием Сократа и мнением нашел отражение в науке в виде конфликта между теорией и наблюдением. Тот факт, что подобные расхождения действительно имеют место, и достаточно часто, отрицать нельзя. Кто виноват, пока не решили, но есть подозрение, судя по некоторым примерам, что могут быть виновны оба фактора. Но реалист уверен в одном, что его математика всегда права, а потому вечно права. Но права так, как это понимает реалист, а математика реалиста по этой причине не имеет никакого значения в областях научного эксперимента и здравого смысла.

Возможно, что в большей степени, чем общие сведения о математике (равенства, точки, линии и т. д.), ее теоремы дают математику-реалисту бесчисленные подтверждения

его уверенности. Вместо поиска доказательств этого постулата у Платона (или Сократа) процитируем другого знаменитого философа, известного как математика высокого уровня. Обратимся к Декарту, жившему в 1596–1630 годах, потому что он типичный великий математик, чье научное чутье метафизично и не однозначно. Как можно предположить со стороны такого ума, Декарт верил в реальность математических понятий. В «Пятой медитации» он раскрывает видение реального в Вечном треугольнике.

«Я представляю себе треугольник, – говорит он, – хотя такая фигура, возможно, и не существует и никогда не существовала нигде в мире за пределами моего разума.

Несмотря ни на что, эта фигура имеет определенную природу, или форму, или детерминированное содержание, которое неизменно и вечно и которое не я изобрел, но которое, при любом раскладе, зависит от моего восприятия. Это очевидно, потому что я могу продемонстрировать различные свойства треугольника, например что все три его угла в сумме равны двум прямым углам, что против наибольшего угла расположена наибольшая по длине сторона и т. д. Хочу я того или нет, я вижу достаточно четко и ясно, что эти свойства принадлежат треугольнику, хотя я никогда ранее о них не думал, и, даже если я впервые представил себе треугольник, никто никогда не сможет утверждать, что я изобрел или придумал их».

Загадочный треугольник, чьи свойства представил Декарт, не был плодом его фантазий, а являлся универсальным треугольником, что практически соответствует «Идее» Платона, согласно которой все треугольники, воспринятые органами чувств, представлены в нем в силу своей треугольности. Для реалистов аргумент Декарта вполне ясен и устраивает их. Другие же, необходимо честно признать, находят его очаровательно наивным. Повторим еще раз, это больше вопрос эмоций, чем разума, чтобы его рассудить.

Как только Платон осознал абстрактность математики, эстетики, этики и морали в «Идеях», он, видимо, почувствовал уверенность в себе и своем реализме. Но когда менее симпатичные ему понятия начали настаивать на своем метафизическом праве и также стали копиями соответствующих Вечных Идей, он засомневался. Между несомненными Идеями, такими как Равенство, и стоящими выше всех Истиной, Красотой и Добродетелью оказались Идеи, соответствующие обыденным, но бесспорным растениям и животным. Были ли эти Идеи совершенно чисты? Хотя вопрос следовало задать немного иначе, Платон мог бы спросить, обращаясь к Добродетели: «Что есть человек, яко помниши его?» Ответ прост.

Из числа сотен миллионов индивидуалов, к кому можно отнести слова «вот это человек», ни один не является

Человеком. Как заметил Протагор, вам никогда не встретить Человека идущим вдоль по улице, вы видите человека и узнаете его, если придется, если даже вы никогда его не видели. Но, игнорируя данные софизмы, как это делал Сократ, реалист считает, что каждый индивидуум представлен в Идее «Человек». Универсальный предлагаемый общий термин «Человек» являет собой некую Реальность. Эта Реальность может быть воспринята разумом, но не чувствами, человек, а не «Человек» – вот о чем докладывают чувства. Идея «Много», то есть множество людей, делится на идею «Один», то есть на идею «Человек», и «Человек» существует в навеки неизменяемой сфере «Идей» как «объективная реальность».

Таким образом, переходя к неосязаемому, реалист мог бы вначале представить всю красоту вселенной, расстилающейся перед ним. У каждого объекта есть изъян, и только некоторые

похожи друг на друга. Хотя все они обладают «изюминкой», которую реалист воспринимает как красоту из идеи «Красота», которая охватывает все красивые вещи и входит незамеченной в его мозг. И эту «Красоту» он ощущает как «объективную реальность», более реальную, в несколько отличном и постоянном восприятии, чем любую мимолетную красоту, которую он до этого уже признавал красивой. Чувствуя, что «Красота» – это что-то хорошее, а «Добродетель» – это что-то красивое, а оба вместе – это правдиво, реалист в результате познает мистическое откровение, что «Красота», «Истина», «Добродетель» как «Идеи» каким-то образом проникают друг в друга. И поскольку арифметика и геометрия проникают в «Истину», следовательно, они также красивы и добродетельны.

На столь бесспорном выводе среднестатистический математик-реалист традиционно чувствует удовлетворение и успокаивается. Но, если он неколебимо метафизичен, как Платон, он продолжит поход к менее радостным «Идеям». Что бы вы сказали об Идеях «Чистки ногтей», «Волос», «Грязи», «Женщины легкого поведения» и тому подобного? Как Идеи они существуют. Когда Парменид задал этот заковыристый вопрос Сократу, на тот момент еще молодому, Сократ возмутился и отверг возможность пребывания столь вопиюще отвратительных идей вместе с «Истиной», «Красотой» и «Добродетелью» в «Сущем». Поскольку Сущее само есть Идея, в которой каждая Идея участвует в полном объеме, постольку, в противном случае, это вообще не будет неизменяемая Идея, а простое заблуждение чувств и кратковременное «становящееся». Парменид уверил Сократа, что философская зрелость вылечит его от юношеской щепетильности в отношении Реальности, и действительно так и случилось. Его выздоровление вернуло его человечеству.

Предполагая, что Платон был уверен в объективной реальности своих Идей, мы встаем на спорную почву. Вес авторитета в философии, казалось, способствовал формированию этого мнения, хотя некоторые критики возражали, что Платон в свои преклонные годы отказался от объективной реальности Идей, и в поддержку своих возражений приводили отрывки из «Парменида» и иных работ Платона. Для реалистов-математиков не суть важно, кто прав, а кто нет, ведь они, разумеется, остаются верными объективной реальности математических «Идей», во что бы там верил или не верил Платон, состарившись. Иначе их реализм не имеет никакого смысла.

«Идеи», хотя и «объективные реальности», не есть «объекты» в прямом смысле слова: кирпичи, народ, эмоции, – а по существу стоят ближе к мыслям. «Идея», однако, не есть мысль в чьем-то человеческом мозгу, даже не в Мозгу Абсолютном, если Абсолют, он же Бог, вообще имеет мозг или, если таковой и имеет, хоть изредка думает. Идеи – существующие сами по себе сущности, которые могут быть мыслями думающего человека. Они над пространством и над временем, независимы от разных богов и людей, вечны, неизменяемы и прекрасны, они не плод разума, но воспринимаемы им и «известны» только благодаря разуму или душе, а не через чувства.

Все это становится очевидно для математика-реалиста. Но коварные трудности проявляют себя. Застарелый конфликт Единицы и Многого разгорается вновь в различиях между Идеями и миром чувств. Например, полным-полно треугольников, но есть только один Треугольник, бесконечность целых чисел и только одно Целое число. Сфера Идей из Абсолютной реальности, Абсолютного существования, мир чувств нереален и нестабилен, за исключением Объектов чувств, составляющих его или участвующих в Идеях. Идея есть Единица, выделенная посредством частичной реальности из Многого, если это Много вообще реально. Хотя реализм как Идея есть Единица, его неясность, как было показано в «Пармениде» Платона, множественна. Например, чем является «реальный» статус следующего предположения, что «дважды три равно семи»? К какой Идее он относится? Решение абсолютно простое – к реалистичной.