Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы
Шрифт:
Теперь рассмотрим задачу на вычитание трехзначных чисел, которая требует округления.
На первый взгляд она кажется довольно сложной. Но если сначала вычесть 600 (747–600 = 147), а потом прибавить 2, то получим 149 (147 + 2 = 149).
Теперь
Вначале вы вычли 700 из 853? Если да, то получили 853–700 = 153, не правда ли? Так как вы вычли число, на 8 большее исходного, прибавили ли вы 8, чтобы получить ответ 161?
Теперь я могу признаться, что нам удалось упростить процесс вычитания, потому что вычитаемые числа были почти кратными 100. (Вы заметили?) А как насчет других задач, например такой?
Если вычитать по одной цифре за раз, упрощая каждое действие, то последовательность будет выглядеть так:
А что произойдет, если округлить вычитаемое до 500?
Вычесть 500 легко: 725–500 = 225. Но вы отняли слишком много. Хитрость в том, чтобы точно определить, чему равно это «слишком много».
На первый взгляд, ответ не очевиден. Чтобы найти разницу между 468 и 500. Ответ можно получить с помощью дополнения — ловкого приема, который упростит большинство задач на вычитание трехзначных чисел.
Вычисление дополнений
Быстро скажите, как далеко от 100 эти числа?
Вот ответы:
Обратите внимание, что для каждой пары чисел, сумма которых равна 100, первые цифры (слева) в сумме дают 9, а последние (справа) — 10. Можно сказать, что 43 — это дополнение для 57, 32 — для 68 и так далее.
А сейчас отыщите дополнения к следующим двузначным числам:
Чтобы найти дополнение к числу 37, сначала определите, сколько нужно прибавить к 3, чтобы получить 9. (Ответ — 6.)
Затем выясните, сколько следует добавить к 7 для получения 10. (Ответ — 3.) Следовательно, 63 — дополнение к 37.
Остальные дополнения: 41, 7, 56, 92 соответственно. Обратите внимание, что как матемаг вы ищете дополнения, как и все остальное, слева направо. Как мы уже выяснили, первую цифру увеличиваем до 9, вторую до 10. (Исключение, если числа заканчиваются на 0 — например, 30 + 70 = 100, — но такие дополнения легко вычислить!)
Какая связь между дополнениями и устным вычитанием?
Они позволяют преобразовать сложные примеры на вычитание в простые задачи на сложение. Рассмотрим последнюю задачу, доставившую нам некоторые трудности.
Итак,
Попробуйте другую задачу на вычитание трехзначных чисел:
Чтобы подсчитать это в уме, отнимите 300 от 821, выйдет 521. Затем прибавьте дополнение для 59 (то есть 41), получится 562. Весь процесс выглядит следующим образом:
Вот еще один пример:
Проверьте свой ответ и ход решения:
Вычитание трехзначного числа из четырехзначного не многим сложнее, что иллюстрирует следующий пример.
Путем округления вычитаем 600 из 1246. Получаем 646.
Затем прибавляем дополнение для 79 (то есть 21). Ответ: 646 + + 21 = 667.
Выполните упражнения на вычитание трехзначных чисел, данные ниже, а затем попробуйте придумать свои примеры на сложение (или на вычитание?).
Глава 2
Произведения растраченной юности: основы умножения
Вероятно, я слишком много времени в детстве думал о том, как максимально быстро перемножать числа в уме. Мне поставили диагноз «гиперактивность», а моим родителям сообщили, что из-за короткого периода концентрации внимания мне, скорее всего, не добиться успеха в учебе. (К счастью, родители этот прогноз проигнорировали; и с учителями мне повезло в первые годы обучения.) Должно быть, этот короткий период концентрации внимания мотивировал меня к поиску ускоренных способов счета. Не думаю, что тогда я обладал достаточным терпением для решения задач с карандашом и бумагой.
И вы, как только освоите техники, описанные в данной главе, тоже перестанете полагаться на эти инструменты.
В этой главе вы научитесь умножать в уме однозначные числа на дву- и трехзначные. Кроме того, изучите феноменально быстрый способ возводить в квадрат двузначные числа. Даже друзья с калькуляторами не смогут угнаться за вами.
Поверьте, практически каждый будет ошеломлен тем, что такие задачи можно решить в уме, да еще и с подобной скоростью. Иногда я думаю, почему мы не применяли эти способы в школе, ведь они кажутся такими простыми, как только их освоишь.