Магия математики: Как найти x и зачем это нужно
Шрифт:
Другой интересный метод – метод сближения. Его можно использовать, когда двузначные числа, которые вы перемножаете, начинаются с одной и той же цифры. Неискушенному наблюдателю он может показаться настоящим фокусом. Ведь разве можно просто взять и поверить, что
Вычисления становятся элементарными, если последние цифры двух чисел дают в сумме 10 (как в нашем примере: оба числа начинаются с 3, а сумма их последних цифр – 8 и 2 – равна 10). Вот еще один пример:
Но
Для 34 x 37 отнимаем 4 у 34 (и остается 30) и отдаем их 37 (37 + 4 = 41), а потом прибавляем 4 x 7:
Кстати, помните загадочный пример с 104 x 109? Там использовался тот же самый метод:
В некоторых школах, кстати, учеников заставляют учить не привычную таблицу умножения, которая заканчивается 10, но расширенную до 20. Наш метод сводит эту необходимость на нет:
Как же так получается, что эта штука работает, спросите вы? Чтобы разобраться, нужно обратиться к алгебре – этим мы займемся в главе 2. А алгебра даст нам еще больше способов счета. Например, ту же задачу можно будет решить еще и вот так:
Кстати, о таблице умножения: взгляните на столбцы и ряды однозначных чисел чуть ниже (я же обещал вам это показать, помните?). Перед нами встанет тот же вопрос, который встал перед юным Гауссом: чему будет равняться сумма всех чисел таблицы умножения? Не торопитесь, подумайте: вдруг у вас получится найти ответ каким-нибудь волшебным, потрясающим воображение способом? Ну а свой способ я предложу вам в конце главы.
Приблизительный подсчет в уме. Деление в уме
Давайте начнем с очень простого вопроса, на который существует очень простой ответ, которому по какой-то неизвестной причине не учат в школах:
а) если вам нужно перемножить два трехзначных числа, сможете ли вы сразу сказать, из скольки знаков будет состоять результат?
И чуть посложнее:
б) число из скольки знаков получится, если умножить четырехзначное число на пятизначное?
В школе почти все время уходит на то, чтобы подбирать цифры при умножении и делении, а не на то, чтобы подумать о том, насколько большим будет результат. Да-да, умение примерно оценивать, насколько большим будет ответ, куда важнее умения находить его последние или даже первые цифры. (Подумайте сами, какой практический прок от знания того, что итог начинается с цифры 3, и не полезнее ли знать, к чему он будет ближе: к 30 или 300 000 или вовсе к 3 000 000?)
Ответ на вопрос (а) – из пяти или шести цифр. Знаете почему? Минимальный возможный пример – 100 x 100 = 10 000 (здесь пять цифр). Максимальный – 999 x 999, результат которого однозначно будет меньше семизначного 1000 x 1000 = 1 000 000 (пусть и ненамного). Но раз 999 x 999 меньше, значит, в ответе будет шесть цифр (давайте, кстати, вспомним, насколько легко это посчитать: 9992 = (1000 x 998) + 12 = 998 001.) Вот и вывод: результатом перемножения двух трехзначных чисел будет пяти- или шестизначное число.
Ответ на вопрос (б) – из восьми или девяти цифр. Почему? Наименьшее четырехзначное число – 1000, которое можно представить в виде 10^3 (единица с тремя
Такая логика приводит нас к простому правилу: умножение m– значного числа на n– значное даст число, в котором m + n или m + n – 1 знаков.
Конкретное количество цифр в ответе легче всего определить, взглянув на начальные (крайние левые) цифры перемножаемых чисел. Если их произведение больше или равно 10, тогда в ответе будет m + n цифр (например, в 271 x 828 произведение крайних левых цифр – 2 x 8 = 16 – больше десятки, поэтому ответом будет шестизначное число). Если произведение крайних левых цифр меньше или равно 4, тогда в ответе будет m + n – 1 цифр (например, 314 x 159 будет иметь пятизначный ответ). Ну а на случаи, в которых произведение крайних левых цифр будет равняться 5, 6, 7, 8 или 9, нам придется посмотреть чуть более внимательно. Например, произведение 222 и 444 – пятизначное, а вот 234 и 456 – шестизначное. Но куда важнее то, что оба ответа очень близки к 100 000.
В результате у нас получается еще более простое правило, уже в отношении деления: деление m– значного числа на n– значное даст число, в котором m – n или m – n + 1 знаков.
То есть девятизначное число, разделенное на пятизначное, даст нам четырех- или пятизначный результат. Правило определения более конкретного ответа здесь еще проще, чем в случае с умножением. Крайние левые цифры не нужно ни умножать, ни делить – достаточно их просто сравнить. Если крайняя левая цифра делимого меньше крайней левой цифры делителя, в частном будет меньшее количество цифр (m – n). Если же крайняя левая цифра делимого больше крайней левой цифры делителя, в частном будет больше (m – n + 1) цифр. Если же цифры обоих чисел одинаковые, смотрим на следующие после них цифры и применяем то же правило. Например, в результате деления 314 159 265 на 12 358 мы получим пятизначное число, а на 62 831 – четырехзначное. Деление 161 803 398 на 14 142 даст пятизначный ответ, потому что 16 больше 14.
Рассказывать в подробностях про процесс деления в уме я здесь не буду: он мало чем отличается от деления в столбик на бумаге (но каким бы методом вы ни воспользовались, считать нужно слева направо). Но есть парочка уловок, которые значительно облегчат вам жизнь.
Скажем, если вы делите на 5 (или на любое число, заканчивающееся на 5), удвойте числитель и знаменатель, и задача станет проще. Например,
После удвоения обоих чисел хорошо видно, что и 246, и 9 кратны 3 (мы поговорим об этом подробнее в главе 3), поэтому задача упрощается до деления отдельно числителя и знаменателя на 3.