Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании
Шрифт:
Диагональ матрицы — расположенные диагонально элементы Аi,i матрицы А. В приведенной ниже матрице элементы диагонали представлены заглавными буквами:
Обычно указанную диагональ называют главной диагональю — для матрицы А, приведенной выше, это диагональ с элементами А, Е и L. Иногда вводят понятия поддиагоналей (элементы d и k)
Ранг матрицы — наибольший из порядков отличных от нуля миноров квадратной матрицы.
След матрицы — сумма диагональных элементов матрицы.
Матрица в целой степени — квадратная матрица в степени n (n — целое неотрицательное число), определяемая следующим образом: М0=Е, М1=М, М2=ММ, …, Мn=Мn-1М.
Идемпотентная матрица — матрица, отвечающая условию Р²=Р.
Симметрическая матрица — матрица, отвечающая условию Ат=А.
Кососимметрическая матрица — матрица, отвечающая условию Ат=-А.
Ортогональная матрица — матрица, отвечающая условию Ат=А– 1.
Нуль-матрица — матрица, все элементы которой равны 0.
Блок-матрица — матрица, составленная из меньших по размеру матриц, также можно представить как матрицу, каждый элемент которой — матрица. Частным случаем является блок-диагональная матрица — блок-матрица, элементы-матрицы которой вне диагонали — нуль-матрицы.
Комплексно-сопряженная матрица — матрица Ā, полученная из исходной матрицы А заменой ее элементов на комплексно-сопряженные.
Эрмитова матрица — матрица А, удовлетворяющая условию Ā=Ат.
Собственный вектор квадратной матрицы А — любой вектор х∈Vn, х≠0, удовлетворяющий уравнению Ах=γх, где γ — некоторое число, называемое собственным значением матрицы А.
Характеристический многочлен матрицы — определитель разности этой матрицы и единичной матрицы, умноженный на переменную многочлена — |А– γЕ|.
Собственные значения матрицы — корни ее
Норма — обобщенное понятие абсолютной величины числа.
Норма трехмерного вектора ||х|| — его длина.
Норма матрицы — значение sup(||Ax||/||x||).
Матричная форма записи системы линейных уравнений — выражение А∙Х=В, где А — матрица коэффициентов системы, X — вектор неизвестных и В — вектор свободных членов. Один из способов решения такой системы очевиден — X=А– 1∙В, где А– 1 — обратная матрица.
6.1.2. Системы линейных уравнений и их матричная форма
Как известно, обычная система линейных уравнений имеет вид:
Здесь а1,1, а1,2, …, an,n — коэффициенты, образующие матрицу А и могущие иметь действительные или комплексные значения, х1, х2, …, хn — неизвестные, образующие вектор X и b1, b2, …, bn — свободные члены (действительные или комплексные), образующие вектор В. Эта система может быть представлена в матричном виде как АХ=В, где А — матрица коэффициентов уравнений, X — искомый вектор неизвестных и В — вектор свободных членов. Из такого представления системы линейных уравнений вытекают различные способы ее решения: X=В/А (с применением матричного деления), X=А– 1В (с инвертированием матрицы А) и так далее.
6.1.3. Матричные разложения
В ходе решения задач линейной алгебры часто приходится использовать различные методы, например известный еще из школы метод исключения Гаусса. Однако для эффективного решения таких задач приходится представлять матрицы специальным образом, осуществляя матричные разложения. В ходе этого приходится работать с некоторыми специальными типами матриц, что нередко резко упрощает решения систем линейных уравнений. Отметим некоторые из наиболее распространенных матричных разложений, которые реализованы в большинстве СКА и СКМ.
LU-разложение, называемое также треугольным разложением, соответствует матричному выражению вида Р∙А=L∙U, где L — нижняя и U — верхняя треугольные матрицы. Все матрицы в этом выражении квадратные.
QR-разложение имеет вид А=Q∙R, где Q — ортогональная матрица, a R — верхняя треугольная матрица. Это разложение часто используется при решении любых систем линейных уравнений, в том числе переопределенных и недоопределенных и с прямоугольной матрицей.