Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

Рис. 6.11. Окно ассистента оптимизации с заданной функцией

Чтобы проверить, что же нашел ассистент оптимизации, желательно построить график функции. Для этого достаточно активизировать кнопку Plot в окне рис. 6.11. Будет построен график в области оптимизации. Расширив область графика до значений x от 0 до 6 получим график, представленный на рис. 6.12. Нетрудно заметить, что найден глобальный максимум в точке, отмеченной кружком.

Рис. 6.12.

График функции с помеченной точкой глобального максимума

Глава 7

Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения лежат в основе математического моделирования различных, в том числе физических, систем и устройств [1, 38, 46]. Решению таких уравнений посвящена эта глава. В ней рассмотрено как аналитическое, так и численное решение дифференциальных уравнений различного вида — линейных и нелинейных, классических и специальных, например, в частных производных и с учетом двухсторонних граничных условий. Описание сопровождается множеством наглядных примеров, реализованных в СКМ Maple 9.5/10.

7.1. Введение в решение дифференциальных уравнений

7.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения (ДУ) это уравнения, связывающие неизвестную функцию с какими либо ее производными и, возможно, с независимыми переменными. Если неизвестная функция зависит только от одной независимой переменной, то такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, а если от двух и более многих независимых переменных — дифференциальным уравнением в частных производных.

Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка

 

(7.1)

в общем случае имеет множество решений в виде зависимостей y(х). Однако можно получить единственное решение, если задать начальные условия в виде начальных значений х₀ и у₀= у(х₀). Это решение может быть аналитическим, конечно-разностным или численным.

7.1.2. Решение дифференциального уравнения радиоактивного распада

В качестве примера аналитического решения дифференциального уравнения первого порядка (файл der) запишем дифференциальное уравнение радиоактивного распада атомов (N — число атомов в момент времени t, g=1/c):

> restart: deq:=diff(N(t),t)=-g*N(t);

Используя функцию dsolve, которая более подробно будет описана чуть позже, получим его общее аналитическое

решение:

> dsolve(deq, N(t));

N(t)=_C1e^(-gtf)

В решении присутствует произвольная постоянная _С1. Но ее можно заметить на постоянную N(0)=N₀, означающую начальное число атомов в момент t=0:

> dsolve({deq,N(0)=No},N(t));

N(t)=Noe^(-gt)

Если конкретно N₀=100 и g=4, то получим:

> No := 100; g:=3;

Nо:=100

g:=3

Хотя dsolve выдает решение N(t) в символьном виде, оно пока недоступно для построения графика этого решения или просто вычисления в любой точке. Однако, используя функции assign или subs можно сделать это решение доступным. Например, используем такую конструкцию:

> s: =dsolve({ deq, N(0) =-No}, N (t)); assign(s);

s: = N(t) = 100 e^(-3t)

Теперь мы можем воспользоваться полученной зависимостью N(t) и построить график ее:

> plot(N(t),t=0..3,color=black);

Этот график, который читатель может просмотреть сам, описывает хорошо известным апериодическим экспоненциальный закон уменьшения числа атомов вещества в ходе его радиоактивного распада. Подобные зависимости, кстати, характерны для напряжения на конденсаторе С при его разряде через резистор R, для тока в LA-цепи и для многих простых физических явлений, описывающихся дифференциальным уравнением первого порядка.

7.1.3. Модели популяций Мальтуса и Ферхюльса-Пирла

Еще одним классическим примером применения дифференциального уравнения первого порядка является давно известная и довольно грубая модель популяции Мальтуса. Не вдаваясь в хорошо известное описание этой модели, отметим, что она описывает численность особей или их биомассу x(t) в любой момент времени (для момента времени х(0)=N) Эта зависимость характеризуется коэффициентами рождаемости α и смертности β. При этом вводится их разность k=α-β.

Представим задание дифференциального уравнения динамики популяций по модели Мальтуса и его решение в аналитическом виде:

> restart:deq := diff(х(t),t) - k*x(t)=0;

> dsol1 := dsolve({deq,x(0)=N});

dsol1 := x(t) = Ne^(k1)

Нетрудно заметить, что решение этого уравнения аналогично решению дифференциального уравнения радиоактивного распада и описывается также экспоненциальной функций. Однако, в зависимости от того, какой фактор (рождаемость или смертность) преобладает наблюдается либо экспоненциальный рост, либо экспоненциальный спад биомассы популяций.