Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании
Шрифт:
Ha этом мы завершаем обзор пакета LinearAlgebra. Читатель, познающий или знающий методы линейной алгебры, может опробовать в работе любые функции этого пакета самостоятельно или познакомиться с множеством примеров, размещенных в справочной системе Maple и в файле демонстрационных примеров LE_Linear_Solve.mws. Возможности пакетов linalg и LinearAlgebra удовлетворят самых требовательных специалистов в этой области математики.
6.4.
6.4.1. Краткие сведения о MATLAB
Несмотря на обширные средства линейной алгебры (да и многие другие), имеющиеся у системы Maple, есть системы компьютерной математики, решающие некоторые классы задач более эффективно, и прежде всего быстрее. В области линейной алгебры к таким системам, безусловно, относится система MATLAB [10, 28–34), созданная компанией MathWorks, Inc. Ее название происходит именно от слов MATrix LABoratory — матричная лаборатория.
MATLAB содержит в своем ядре многие сотни матричных функций и является одной из лучших матричных систем для персональных компьютеров. Она реализует самые современные алгоритмы матричных операций, включая, кстати, и алгоритмы NAG. Однако главное достоинство MATLAB — наличие множества дополнительных пакетов как по классическим разделам математики, так и по самым новейшим, таким как нечеткая логика, нейронные сети, идентификация систем, обработка сигналов и др. Знаменитым стал пакет моделирования систем и устройств Simulink, включаемый в пакет поставки системы MATLAB. Последней версией системы является MATLAB 7 SP2.
В то же время нельзя не отметить, что MATLAB — одна из самых громоздких математических систем. Инсталляция ее полной версии занимает около 2 Гбайт дискового пространства. Несмотря на это, интеграция различных математических систем с данной системой, похоже, становится своеобразной модой. Такая возможность предусмотрена и в системе Maple с помощью пакета Matlab.
6.4.2. Загрузка пакета расширения Matlab
Для загрузки пакета Matlab используется команда
Использование этой команды ведет к автоматическому запуску системы MATLAB и установлению необходимой объектной связи между системами Maple и MATLAB — рис. 6.2. Обратите внимание на то, что такая связь установлена для последней реализации MATLAB 7.04.365 SP2.
Рис. 6.2. Установление связи между системами Maple и MATLAB
Как нетрудно заметить, данный пакет дает доступ всего к 18 функциям системы MATLAB (из многих сотен, имеющихся только в ядре последней системы). Таким образом, есть все основания полагать, что возможности MATLAB в интеграции с системой Maple используются пока очень слабо и носят рудиментарный характер. Стоит ли ради этих функций иметь на компьютере огромную систему MATLAB, пользователи должны решать сами. Если ответ положительный, то, скорее всего, пользователь решает тот класс задач, для которых лучше подходит MATLAB и надо задуматься уже над тем, нужна ли в этом случае СКМ Maple.
6.4.3. Типовые матричные операции пакета расширения Matlab
Большинство функций пакета Matlab (не путайте с системой MATLAB, имя которой надо записывать прописными буквами) реализуют самые обычные матричные операции, что и иллюстрируют приведенные ниже примеры (файл matlabi).
Зададим матрицу М в формате Maple:
Ниже даны
Можно проверить, является ли матрица квадратной:
а также вычислить размер матрицы:
Можно также проверить, является ли данная матрица матрицей системы MATLAB:
Здесь надо иметь в виду, что форматы матриц в системах Maple и MATLAB различны. Выполним LU-преобразование матрицы:
Таким образом, видно, что Maple в данном случае реализует типовые матричные операции, но средствами системы MATLAB. Загрузка последней происходит автоматически при загрузке пакета MATLAB. Если система MATLAB не установлена на вашем компьютере, то доступ к функциям пакета Matlab будет отсутствовать, a Maple при попытке использования данных функций будет выдавать сообщения об ошибках.
6.5. Линейная оптимизация и линейное программирование
6.5.1. Постановка задачи линейного программирования
В общем случае задача линейного программирования может быть сформулирована следующим образом: найти максимум или минимум целевой функции
при ограничениях
Для решения задач линейного программирования разработано большое количество различных методов. При анализе моделей с двумя или тремя переменными часто используются графические построения на плоскости или в пространстве. Среди универсальных методов решения наиболее распространен симплексный метод. Симплекс — это многоугольник, перемещаемый в пространстве решения таким образом, чтобы постепенно сужаясь он мог охватить точку искомого решения, отвечающую решению задачи с заданной погрешностью.
При этом методе задается некоторое начальное приближение, удовлетворяющее всем ограничениям задачи, но не обязательно оптимальное. Оптимальность результата достигается последовательным улучшением исходного варианта за определенное число шагов (итераций). Направление перехода от одной итерации к другой выбирается на основе критерия оптимальности целевой функции задачи.
Реализовывать симплекс-метод вручную — громоздко и сложно. Системы компьютерной математики имеют средства решения задач оптимизации, в том числе и симплекс-методом. Рассмотрим примеры решения несколько типичных задач линейного программирования с помощью таких средств системы Maple 9.5.