Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании
Шрифт:
При изучении графиков элементарных функций вне особенностей системы Maple полезно Maplet-приложение, окно которого представлено на рис. 3.12. Открывается это окно исполнением команды Tools→Precalcus→Standard Functions… при работе в стандартном интерфейсе Maple 9.5.
Рис. 3.12. Maplet-окно для изучения функций и построения их графиков
В окне в разделе определения функций Define Function имеется список элементарных функций, графики которых можно просматривать. Однако, возможно построение и графиков простых функций более сложного вида, например x*sin(x) вместо sin(x) — это и иллюстрирует график, представленный на рис. 3.12. Maplet-окно генерирует команду на Maple-языке,
3.3. Работа со специальными функциями
3.3.1. Обзор специальных математических функций
Специальные математические функции являются решениями дифференциальных уравнений, которые невозможно представить через элементарные функции. Через такие функции нередко представляются и многие интегралы. Наиболее мощные из СКМ, например Maple, широко используют специальные математические функции в ходе символьных преобразований. Рассмотрим наиболее важные специальные математические функции.
Функция Эйри формирует пару линейно независимых решений дифференциального уравнения вида:
Связь между функцией Эйри и модифицированной функцией Бесселя выражается формулой:
где
Дифференциальное уравнение вида
где v — неотрицательная константа, называется уравнением Бесселя, а его решения известны как функция Бесселя. J(z) и J_(z) формируют фундаментальное множество решений уравнения Бесселя для неотрицательных значений (так называемые функции Бесселя первого рода):
где для гамма-функции используется следующее представление:
Второе решение уравнения Бесселя, линейно независимое от J(z), определяется как
и задает функции Бесселя второго рода Y(z).
Функции Бесселя третьего рода (функции Ханкеля) и функция Бесселя связаны следующим выражением:
H(1)v(z) = Jv(z) + iYv(z),
H(2)v(z) = Jv(z) - iYv(z).
Дифференциальное уравнение вида
где v — неотрицательная константа — называется модифицированным уравнением Бесселя, и его решения известны как модифицированные функции Бесселя I(z) и I_(z). K(z) — второе решение модифицированного уравнения Бесселя, линейно независимое
и
Бета-функция определяется как:
где Г(z) — гамма-функция. Неполная бета-функция определяется интегральным выражением:
Эллиптические функции Якоби определяются интегралом:
В некоторых случаях при определении эллиптических функций используются модули k вместо параметра m. Они связаны выражением:
k² = m = sin² α.
Полные эллиптические интегралы первого и второго рода определяются следующим образом:
Функция ошибки (интеграл вероятности) определяется следующим образом:
erf(X) — возвращает значение функции ошибки для каждого элемента вещественного массива X.
Остаточная функция ошибки задается соотношением:
Встречается и масштабированная остаточная функция ошибки. Эта функция определяется так:
Интегральная показательная функция определяется следующим образом:
Гамма-функция определяется выражением:
Неполная гамма-функция определяется как:
Перейдем к функциям, представляющим ортогональные полиномы. Функция Лежандра определяется следующим образом:
где Рn(х) — полином Лежандра степени n, определяется так:
3.3.2. Специальные математические функции системы Maple 9.5
Maple 9.5 имеет практически полный набор специальных математических функций:
• AiryAi (Bi) — функции Эйри;
• AngerJ — функция Ангера;
• bernoulli — числа и полиномы Бернулли;
• Bessell (J, K, Y) — функции Бесселя разного рода;
• Beta — бета-функция;
• binomial — биноминальные коэффициенты;
• Chi — интегральный гиперболический косинус;
• Сi — интегральный косинус;
• csgn — комплексная сигнум-функция;
• dilog — дилогарифм;
• Dirac — дельта-функция Дирака;
• Ei — экспоненциальный интеграл;
• EllipticCE (CK, CPi, Е, F, K, Modulus, Nome, Pi) — эллиптические интегралы;
• erf — функция ошибок;
• erfc — дополнительная функция ошибок;