Математическая планета. Путешествие вокруг света
Шрифт:
Значит ли это, что эве находили соотношение между береговой и материковой хока? Учитывая, что 20 — половина от 40, а 10 — четвертая часть 40, знали ли они, что три половины и четвертая часть береговой хока равнялись двум материковым хока? Более того, понимали ли они, что отношение между этими «валютами» равнялось 8:7 и, чтобы перевести цену из береговых в материковые хока, нужно было умножить ее на 7 и разделить на 8? Ответить на этот вопрос нелегко.
Особого упоминания заслуживает удивительно сложная система счисления народа йоруба, живущего на территории Нигерии. Так, число 48 на языке йоруба дословно означает 20·3 — 10 — 2.
Йоруба используют двадцатеричную систему счисления, однако в отличие от подавляющего большинства культур числа в ней определяются вычитанием, а не сложением. Система счисления йоруба может показаться необычной и слишком сложной, однако это не единственная система счисления, основанная на вычитании — по такому же принципу была устроена римская система.
Как представить число в системе йоруба? Чтобы ответить на этот вопрос, сначала рассмотрим обозначения всех чисел до 20 — основания этой системы счисления. Числа от 1 до 10 обозначаются разными словами. Числа от 11 до 14 образуются прибавлением окончания — лаа к словам, обозначающим числа от 1 до 4. Вычитание используется начиная с числа 15: это и последующие числа обозначаются словами, которые буквально означают 20 — 5, 20 — 4, 20 — 3, 20 — 2 и 20 — 1. Число 20 обозначается новым словом; следующие числа, начиная с 21, обозначаются при помощи сложения, затем, начиная с 25, — вновь при помощи вычитания. Это правило циклически повторяется для всех последующих чисел. К примеру, 105 = 6·20–10 — 5, 315 = 400 — 20·4–5 (число 400 имеет особое название).
Укажем, как обозначаются некоторые большие числа.
Возможно, подобное представление чисел связано с подсчетом раковин каури: раковины при счете сначала объединялись в группы по 5, затем — в группы по 20. Пять групп по 20 раковин образовывали ряд из 100 раковин. Когда мы делим раковины на группы по 5, мы считаем от 1 до 5. Именно поэтому йоруба определяют числа 11, 12, 13 и 14 прибавлением единиц к 10. Однако эта версия не объясняет, почему число 15 определяется иначе.
Возможное объяснение заключается в том, что йоруба считали раковины на пальцах одной руки. Допустим, что мы держим в уме число 10 и последовательно разгибаем пальцы рук, чтобы отсчитать 11, 12, 13 и 14. Как отсчитать на пальцах этой же руки следующие числа до 20? Сначала разогнем пятый палец, а затем будем поочередно загибать пальцы до тех пор, пока не досчитаем до следующего десятка. Следовательно, числа, которые мы добавим к первому десятку, когда будем разгибать пальцы, мы отнимем от следующего десятка, когда будем загибать пальцы.
Таким образом, когда мы разогнем пятый палец, то будем представлять, что вычли 5 из 20: 20 — 5 = 15. Загнем один палец и получим 20 — 4 = 16, загнем еще один и получим 20 — 3 = 17. Когда мы загнем все пальцы, то начнем отсчет следующего десятка, то есть досчитаем до 20.
Методам счета за пределами академической среды посвящено множество исследований. Целью одного из них было узнать, как женщины каждый день выполняют сложение и вычитание в уме (чаще всего это происходит на рынках). Чтобы вычесть 5 единиц из 62, больше половины женщин на рынке в Мозамбике (Восточная Африка) сначала вычитали 2, а затем отнимали еще 3 от результата:
62 — 5 = (62 — 2) — 3 = 57.
Примерно треть опрошенных женщин вычитали 5 из 60, после чего прибавляли к результату две единицы:
62 — 5 = (60 — 5) + 2 = 57.
Меньшинство вычитало 10 из 62, после чего прибавляло к результату разность
62 — 5 = (62–10) + (10 — 5) = 57.
При умножении большинство женщин удваивали числа до тех пор, пока не получали приближенный результат. К примеру, они умножали 6 на 13 следующим образом (этот метод похож на египетский, описанный в начале этой главы):
Авторство всех этих методов подсчета неизвестно — так же как неизвестно, обучал ли женщин кто-либо считать именно таким способом. Возможно все описанные способы счета в уме составляют часть культурной традиции, связанной с ролью женщины в торговых отношениях.
В Нигерии также были зафиксированы алгоритмы вычислений в уме, схожие с приведенными выше. Так, сумма 18 + 19 вычислялась по следующим правилам:
18 + 19 = (18 — 1) + (19 +1) = 17 + 20 = 37
18 + 19 = (20 — 2) + (20 — 1) = 20 + 20 — (2 + 1) = 40 — 3 = 37.
При делении 45 на 3 полезно знать, что 21/3 = 7:
Эти методы позволяют понять, что одни и те же действия можно выполнять множеством способов, а математическое творчество довольно распространено.
Город Ченнаи, ранее носивший название Мадрас, — столица штата Тамилнад на юго-востоке Индии. Водители автобусов в этой местности должны очень быстро вычислять в уме, чтобы определить, сколько денег должен заплатить каждый пассажир (сумма зависит от тарифов на разных участках пути), а в конце рабочего дня на основе дневного заработка они должны вычислить так называемую батта — свою заработную плату. Батта зависит от разновидности автобуса, числа поездок и дневной выручки.
Нирмала Нареш из Университета штата Иллинойс изучил методы, которые используют водители автобусов для вычисления батта и платы за проезд в зависимости от маршрута. При этом водители учитывают соотношение между индийской валютой рупией, ее сотой частью (пайсом) и различными банкнотами и монетами.
Улица Ченная в штате Тамилнад (Индия).