Математические чудеса и тайны

Гарднер Мартин

После того как зритель задумал предмет и сделал неизвестную вам передвижку остальных двух, он снова начинает называть вслух цифры, обозначающие перестановки. При этом вы продолжаете следить за положением кольца, как если бы оно не изменилось в результате неизвестной вам передвижки.

В заключение всех операций по перестановкам ваш большой палец остановится на каком-то пальце.

Допустим, что этот палец имеет номер 2. Взгляните на второе место на столе. Если там окажется кольцо, вы сразу же определяете, что было задумано именно кольцо, потому что его положение не изменилось в результате неизвестной вам передвижки.

Если же кольцо оказывается не там, где это указывает вам большой палец, то взгляните на два других предмета (кольцо

и еще что-то), тот другой предмет (не кольцо) и будет задуманным.

Наш метод поразительно прост и легко догадаться, почему он приводит к цели. По сути, мы здесь имеем дело с задачей элементарной логики, где пальцы выполняют роль простейшей логической машины.

Фокус с отгадыванием одного из четырех предметов

Вот еще один увлекательный фокус, имеющий своим источником только что описанный фокус; он выглядит так: четыре спички располагаются на столе в ряд, три из них обращены головками в одну сторону, а четвертая, чтобы выделить ее среди остальных, — в противоположную. Показывающий стоит, повернувшись к зрителям спиной, а кто-нибудь из присутствующих переставляет спички на первый взгляд совсем произвольным образом. Все еще не поворачиваясь к зрителям, показывающий просит убрать сначала одну спичку, потом еще одну и, наконец, третью, оставляя таким образом на столе только одну спичку.

И эта оставшаяся спичка обязательно оказывается повернутой!

Этот фокус можно повторять много раз, и он всегда будет удаваться. Его можно показывать на любых четырех предметах, поэтому мы описываем его в этом разделе, а не там, где фокусы со спичками.

Объяснение. Положение спичек или предметов, расположенных на столе, обозначьте цифрами 1, 2, 3 и 4. Попросите кого-нибудь указать один из этих предметов. Прежде чем вы повернетесь к зрителям спиной, запомните его положение. Теперь попросите сделать пять перестановок, меняя при этом местами выбранный предмет с соседним. Если был указан предмет, находящийся на одном из концов, то, конечно, первую перестановку можно выполнить единственным образом; если же был указан не крайний предмет, то его можно переставить либо с правым соседним предметом, либо с левым.

Поскольку зритель не сообщает показывающему, как он меняет местами предметы, может возникнуть представление, что после данного числа перестановок выбранный предмет может занять любое место в ряду.

Однако это не так. Например, если указанный предмет занимал 2-е или 4-е (т. е. четное) место, то после пяти перестановок он может оказаться либо на 1-м, либо на 3-м (т. е. нечетном) месте. Наоборот, если мы начнем с 1-го или 3-го места, то придем ко 2-му или 4-му.

При нечетном числе перестановок так будет получаться всегда. В нашем примере мы предложили сделать пять перестановок, но можно было назначить семь или, скажем, двадцать девять (любое нечетное число) перестановок. Мы могли бы также задать четное число перестановок, но в этом случае выбранный предмет очутился бы на четном месте, если он был на четном вначале, или на нечетном, если на таком же месте он был вначале. Вопрос о числе перестановок может решать и сам зритель, хотя, конечно, это число он должен вам сообщить. Можно также, переставляя предметы, произносить по буквам свое имя и фамилию.

После того как перестановки будут закончены, вы должны указать зрителю, в каком порядке он должен поштучно убирать. три предмета, чтобы на столе остался четвертый выбранный. Это нужно делать так: Если вам известно, что указанный предмет может оказаться после окончания передвижек на 1-м или 3-м месте, то сначала попросите убрать предмет, находящийся на 4-м месте. Затем попросите зрителя поменять местами выбранный предмет с соседним. В результате этой последней перестановки указанный вам предмет всегда окажется средним из трех оставшихся. Теперь уже не составляет никакого труда оставить на столе выбранный зрителем предмет.

Если же, наоборот,

конечное положение указанного предмета может быть 2-м или 4-м, то сначала следует убрать предмет, находящийся на 1-м месте, а все остальное происходит так же.

Глава третья. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

В предыдущих главах мы рассматривали только такие фокусы, метод показа которых носит математический характер. Мы не занимались фокусами, в которых только конечный результат может быть объяснен при помощи математики. Если, например, показывающий, играя в карты, набирает нужное число взяток, заранее расположив карты в колоде соответствующим образом, то этот эффект можно считать математическим в том смысле, что произвольное расположение карт в колоде каким-то непостижимым образом стало упорядоченным, но мы такой фокус все же не будем называть математическим, поскольку показ его основан не на математике, а просто на незаметной подмене одной колоды другой.

Подобный подход мы применим и к отбору фокусов для настоящей главы. Очень многие «таинственные» фокусы можно назвать в широком смысле топологическими, так как при их показе как будто нарушаются элементарные топологические законы. Один из самых старинных фокусов такого рода известен под названием «соединенных колец»: шесть или более больших железных колец таинственным образом сцепляются и расцепляются — явление, кажущееся совершенно невозможным в силу свойств обычных замкнутых кривых линий. Другие фокусы, в которых кольца снимаются или надеваются на веревку или палку, оба конца которой зажаты в руках зрителя, можно было бы объяснить таинственными соединениями или разрывами цепи, поскольку зритель, держащий веревку, представляет собой замкнутую линию, через которую как-то проходит наше кольцо. Однако большинство таких фокусов основано на механических методах, небольшой ловкости рук или других «таинственных» приемах, ничего общего не имеющих с топологией.

Более близок к тому, что может быть названо топологической головоломкой, фокус, который известен под названием «падающее кольцо». Это цепочка колец, связанных друг с другом довольно странным образом. При надлежащих действиях верхнее кольцо как будто падает по цепи, пока, наконец, не оказывается странным образом соединенным с самым нижним кольцом. Этот фокус получается сам собой, и при его показе не возникает никаких затруднений, если не считать того, что кольца должны быть соединены так, чтобы они образовали некоторую сложную и довольно любопытную топологическую структуру.

«Падение» кольца в этом фокусе является лишь оптической иллюзией, объясняемой механически и не связанной с топологическими законами.

Весь материал этой главы будет включать в себя только фокусы, которые по методам показа могут рассматриваться как топологические. Так как топология занимается такими свойствами тел (предметов), которые не изменяются при непрерывных преобразованиях (растяжениях и сжатиях), при показе топологических фокусов (как и естественно ожидать) придется ограничиться почти исключительно таким гибким материалом, как бумага, ткани, нитки, бечевки и резиновые ленты.

Бумажные кольца

Хорошо всем известный «лист Мёбиуса», названный по имени Августа Фердинанда Мёбиуса, немецкого астронома и пионера-тополога, впервые описавшего эту поверхность, используется на протяжении последних 75 лет для многих фокусов. В одном из них показывающий вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной бумажной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом.